Para os campos de velocidade dados abaixo, determine:
a. Se o campo de escoamento é uni, bi ou tridimensional, e por quê.
b. Se o escoamento é em regime permanente ou transiente, e por quê.
(As quantidades a e b são constantes.)
V=a x y i-b y z t j

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para analisar um campo de velocidade e determinar duas coisas: primeiro, se o campo de escoamento é unidimensional, bidimensional ou tridimensional; e segundo, se o escoamento é permanente (steady) ou transiente (unsteady). A gente vai precisar saber sobre campos de velocidade em fluidos e entender o que cada uma dessas classificações significa.

Passo 2

Vamos começar entendendo o campo de velocidade dado:
V = a x y i - b y z t j
Aqui, $ \vec{V} $ tem componentes nas direções $ \hat{i} $ e $ \hat{j} $, ou seja, nas direções $ x $ e $ y $. A componente $ \hat{k} $ (direção $ z $) não está presente, então não há movimento nessa direção.

Passo 3

Para determinar se o escoamento é unidimensional, bidimensional ou tridimensional, precisamos ver em quantas direções o fluido está se movendo e como a velocidade varia nessas direções.
  • Unidimensional: O fluido se move apenas em uma direção, e a velocidade depende apenas dessa coordenada.
  • Bidimensional: O fluido se move em duas direções, e a velocidade pode depender das duas coordenadas.
  • Tridimensional: O fluido se move em três direções, e a velocidade pode depender das três coordenadas.
No nosso caso, as componentes de $ \vec{V} $ são nas direções $ x $ e $ y $, e a velocidade depende de $ x $, $ y $ e $ z $ (apesar de $ V_z = 0 $). Isso indica que o escoamento envolve variações nas três coordenadas, mesmo que não haja movimento na direção $ z $.

Passo 4

Agora, vamos analisar se o escoamento é permanente ou transiente. Um escoamento é permanente (steady) se suas propriedades não mudam com o tempo, ou seja, quando derivadas parciais em relação ao tempo são zero. Já um escoamento é transiente (unsteady) se as propriedades, como a velocidade, dependem do tempo.
Olhemos para a componente $ \hat{j} $:
j
Aqui, vemos que a velocidade depende do tempo $ t $, já que há um termo $ t $ na equação. Isso significa que as propriedades do escoamento mudam com o tempo.

Resposta

a. O campo de escoamento é tridimensional, porque a velocidade depende das três coordenadas espaciais $ x $, $ y $ e $ z $.
b. O escoamento é transiente, já que a velocidade depende do tempo $ t $, indicando que as propriedades do escoamento mudam com o tempo.

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