Para os campos vetoriais e curvas dadas abaixo, determine o fluxo através da curva com a integral de fluxo e posteriormente verifique o resultado utilizando o teorema da divergência no plano.
F=x i+y j através da circunferência de raio 1 centrada no ponto (1,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo do campo vetorial vec F(x,y)=x,hat i + y,hat j através da circunferência C de raio 1 centrada em (1,0) e depois verificar o resultado pelo teorema da divergência no plano. Vamos precisar parametrizar C, encontrar o vetor normal externo e avaliar a integral de linha para o fluxo, e em seguida usar que div,vec F=2.

Passo 2

Para o cálculo direto do fluxo, parametrize C por
x(t)=1+cos t, y(t)=sin t, tin[0,2pi]
Nesse caso, o vetor normal unitário externo a cada ponto é
hat n(t)=(cos t,,sin t)
e o elemento de comprimento é ds=dt.

Passo 3

Substituindo na integral de fluxo
Phi=ointCvec Fcdothat n,ds =integral0^2pil[(1+cos t)cos t+sin^2 tr],dt
Observe que
(1+cos t)cos t+sin^2 t=cos t+cos^2 t+sin^2 t=1+cos t
Logo,
Phi=integral0^2pi(1+cos t),dt=l[t+sin tr]0^2pi=2pi

Passo 4

Agora aplicando o teorema da divergência (ou teorema de Green para fluxo): como
div,vec F=partial xpartial x+partial ypartial y=2,
e D é o disco de raio 1, temos
Phi=integral duplaDdiv,vec F,dA=2integral duplaDdA=2cdot(picdot1^2)=2pi

Resposta

O fluxo vale 2pi, confirmado pelas duas abordagens.

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