Para os campos vetoriais e curvas dadas abaixo, determine o fluxo através da curva com a integral de fluxo e posteriormente verifique o resultado utilizando o teorema da divergência no plano.
através da circunferência de raio 1 centrada no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o fluxo do campo vetorial
através da circunferência
de raio 1 centrada em
e depois verificar o resultado pelo teorema da divergência no plano. Vamos precisar parametrizar
, encontrar o vetor normal externo e avaliar a integral de linha para o fluxo, e em seguida usar que
.
Passo 2
Para o cálculo direto do fluxo, parametrize
por
Nesse caso, o vetor normal unitário externo a cada ponto é
e o elemento de comprimento é
.
Passo 3
Substituindo na integral de fluxo
Observe que
Logo,
Passo 4
Agora aplicando o teorema da divergência (ou teorema de Green para fluxo): como
e
é o disco de raio 1, temos
Resposta
O fluxo vale
, confirmado pelas duas abordagens.