1. Seja um campo vetorial na forma F= x y^3 i+N(x, y) j, determine N para que o campo seja conservativo.

3 Fluxo

Passo 1

O enunciado pede para achar a componente Q = N(x,y) de modo que o campo vetorial vec F=(x y^3,,N(x,y)) seja conservativo. O conteúdo aqui é campo conservativo em R^2, onde precisamos usar a condição de igualdade das derivadas parciais mistas.

Passo 2

Num campo conservativo em R^2 com vec F=(P,Q), vale a condição
partial Ppartial y=partial Qpartial x
Aqui temos P(x,y)=x y^3 e Q(x,y)=N(x,y).

Passo 3

Calculando a derivada de P em relação a y:
partial Ppartial y=partialpartial y(x y^3)=3x y^2
Logo devemos ter
partial Npartial x=3x y^2

Passo 4

Para encontrar N(x,y), integramos partial N/partial x=3x y^2 em relação a x:
N(x,y)=integral 3x y^2,dx=32x^2 y^2+h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y.

Resposta

N(x,y)=tfrac32x^2 y^2+h(y)

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