Verificar o Teorema de Stokes nos casos seguintes :
F(x, y, z)=(y+z, z+x, x+y) e $ \vec{F}(x, y, z)=(y+z, z+x, x+y) $;

Passo 1

Estamos querendo verificar o Teorema de Stokes, ou seja, checar que
ointpartial Svec Fcdot dvec r ,=,integral duplaS(nablatimesvec F)cdothat n,dS
eu tenho: o contorno partial S é a interseção da esfera x^2+y^2+z^2=4 com o plano x+y+z=0, que é um círculo de raio 2, e o campo
vec F(x,y,z)=(y+z,,z+x,,x+y)

Passo 2

Vamos calcular nablatimesvec F. Lembrando que
nablatimesvec F= l(partialyF3-partialzF2,;partialzF1-partialxF3,;partialxF2-partialyF1r)
Para F1=y+z,;F2=z+x,;F3=x+y temos
partialyF3=1,;partialzF2=1Rightarrow(nablatimesvec F)1=0, partialzF1=1,;partialxF3=1Rightarrow(nablatimesvec F)2=0, partialxF2=1,;partialyF1=1Rightarrow(nablatimesvec F)3=0
Logo
nablatimesvec F=(0,0,0)

Passo 3

Escolhemos como superfície S o disco planar definido por
S=(x,y,z):x+y+z=0,;x^2+y^2+z^2<=4,
com a orientação dada pelo versor hat n da folha x+y+z=0.

Passo 4

O integrando da superfície é zero, então
integral duplaS(nablatimesvec F)cdothat n,dS =integral duplaS0,dS=0

Passo 5

Para a integral de linha ointpartial Svec Fcdot dvec r, note que vec F=nabla f é campo conservativo, com potencial
f(x,y,z)=xy+xz+yz,
pois
nabla f=(y+z,;z+x,;x+y)=vec F
Em regiões simplesmente conectas (como nosso círculo), a integral fechada de campo conservativo é zero. Portanto
ointpartial Svec Fcdot dvec r=0

Resposta

Ambas as integrais (de linha e de superfície) são zero, logo o Teorema de Stokes é verificado.

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