Verificar o Teorema de Stokes nos casos seguintes :
e $ \vec{F}(x, y, z)=(y+z, z+x, x+y) $;
Passo 1
Estamos querendo verificar o Teorema de Stokes, ou seja, checar que
eu tenho: o contorno
é a interseção da esfera
com o plano
, que é um círculo de raio 2, e o campo
Passo 2
Vamos calcular
. Lembrando que
Para
temos
Logo
Passo 3
Escolhemos como superfície
o disco planar definido por
com a orientação dada pelo versor
da folha
.
Passo 4
O integrando da superfície é zero, então
Passo 5
Para a integral de linha
, note que
é campo conservativo, com potencial
pois
Em regiões simplesmente conectas (como nosso círculo), a integral fechada de campo conservativo é zero. Portanto
Resposta
Ambas as integrais (de linha e de superfície) são zero, logo o Teorema de Stokes é verificado.