Dos campos vetoriais dados abaixo, o unico que representa um campo conservativo em R^2 6:
a) F(x, y)=i+j;
b) F(x, y)=y i;
c) F(x, y)=x j;
d) F(x, y)=-y i+x j;
e) F(x, y)=(x-y) i+x j.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre campos vetoriais conservativos no plano R^2. A ideia é identificar, entre as opções dadas, qual campo vetorial é conservativo. Para isso, vamos precisar entender o que torna um campo vetorial conservativo e usar esse conceito para analisar cada opção.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j é conservativo se existe uma função escalar phi(x, y) tal que F = nabla phi . Isso significa que:
partial phipartial x = P e partial phipartial y = Q
Uma condição prática para verificar se um campo é conservativo é usar a seguinte igualdade:
partial Ppartial y = partial Qpartial x
Se essa igualdade for verdadeira em todo o domínio considerado, o campo é conservativo.

Passo 3

Vamos aplicar essa condição em cada uma das opções fornecidas.
Opção a) F(x, y) = i + j
Aqui, P = 1 e Q = 1 .
Calculando as derivadas parciais:
partial Ppartial y = 0 e partial Qpartial x = 0
Como 0 = 0 , a condição é satisfeita. Portanto, este campo é conservativo.
Opção b) F(x, y) = y i
Aqui, P = y e Q = 0 .
Derivadas parciais:
partial Ppartial y = 1 e partial Qpartial x = 0
Como 1 neq 0 , a condição não é satisfeita. Este campo não é conservativo.
Opção c) F(x, y) = x j
Aqui, P = 0 e Q = x .
Derivadas parciais:
partial Ppartial y = 0 e partial Qpartial x = 1
Como 0 neq 1 , a condição não é satisfeita. Este campo não é conservativo.
Opção d) F(x, y) = -y i + x j
Aqui, P = -y e Q = x .
Derivadas parciais:
partial Ppartial y = -1 e partial Qpartial x = 1
Como -1 neq 1 , a condição não é satisfeita. Este campo não é conservativo.
Opção e) F(x, y) = (x - y) i + x j
Aqui, P = x - y e Q = x .
Derivadas parciais:
partial Ppartial y = -1 e partial Qpartial x = 1
Como -1 neq 1 , a condição não é satisfeita. Este campo não é conservativo.

Resposta

Portanto, a opção a) F(x, y) = i + j é o único campo conservativo dentre as apresentadas.

Exercícios relacionados