Dos campos vetoriais dados abaixo, o unico que representa um campo conservativo em
6:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre campos vetoriais conservativos no plano
. A ideia é identificar, entre as opções dadas, qual campo vetorial é conservativo. Para isso, vamos precisar entender o que torna um campo vetorial conservativo e usar esse conceito para analisar cada opção.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função escalar
tal que
. Isso significa que:
Uma condição prática para verificar se um campo é conservativo é usar a seguinte igualdade:
Se essa igualdade for verdadeira em todo o domínio considerado, o campo é conservativo.
Passo 3
Vamos aplicar essa condição em cada uma das opções fornecidas.
Opção a)
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a condição é satisfeita. Portanto, este campo é conservativo.
Opção b)
Aqui,
e
.
Derivadas parciais:
Como
, a condição não é satisfeita. Este campo não é conservativo.
Opção c)
Aqui,
e
.
Derivadas parciais:
Como
, a condição não é satisfeita. Este campo não é conservativo.
Opção d)
Aqui,
e
.
Derivadas parciais:
Como
, a condição não é satisfeita. Este campo não é conservativo.
Opção e)
Aqui,
e
.
Derivadas parciais:
Como
, a condição não é satisfeita. Este campo não é conservativo.
Resposta
Portanto, a opção a)
é o único campo conservativo dentre as apresentadas.