Resolver cada uma das seguintes equações diferenciais.
d yd x-5 y=e^3 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial para resolver:
dydx - 5y = e^3x
Estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o método do fator integrante. Esse método ajuda a transformar a equação diferencial em uma forma que facilita encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação na forma padrão:
dydx + P(x)y = Q(x)
Comparando com a nossa equação:
  • P(x) = -5
  • Q(x) = e^3x

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante, que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Substituindo P(x):
mu(x) = e^integral -5 dx = e^-5x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(x):
e^-5x cdot dydx - 5e^-5xy = e^-5x cdot e^3x
Simplificando o lado direito:
e^-5x cdot e^3x = e^-2x

Passo 5

A equação agora fica:
e^-5x dydx - 5e^-5xy = e^-2x
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto mu(x)y:
ddx [e^-5x y] = e^-2x

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a x:
integral ddx [e^-5x y] dx = integral e^-2x dx
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente e^-5x y:
e^-5x y = integral e^-2x dx

Passo 7

Calculando a integral do lado direito:
integral e^-2x dx = e^-2x-2 + C = -12 e^-2x + C
Então, temos:
e^-5x y = -12 e^-2x + C

Passo 8

Agora, resolvendo para y, multiplicamos ambos os lados por e^5x:
y = e^5x ( -12 e^-2x + C )
Distribuindo e^5x:
y = -12 e^3x + C e^5x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = -12 e^3x + C e^5x

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