Em um centro de treinamento militar está sendo feito o disparo de projéteis com um canhão. A altura de um projétil disparado por este canhão é medida a cada segundo em relação ao chão. Esta altura é descrita em função do tempo t, em segundos, pela função altura, em metros:
H(t)=-t^2+5 t+1
Baseando-se nessas informações, responda às seguintes questões:
a) A que altura do chão um projétil inicia a sua trajetória?
b) Em quanto tempo um projétil alcança o chão?
c) Qual a altura máxima que um projétil alcança?
d) Em que instante um projétil atinge a altura máxima?

Passo 1

O enunciado dá a altura de um projétil em função do tempo por
H(t) = -t^2 + 5t + 1,
uma função quadrática (parábola). Para responder:
  • (a) basta avaliar em t=0;
  • (b) resolver H(t)=0 (raízes da parábola) com a fórmula de Bhaskara;
  • (c) e (d) usar as fórmulas do vértice de uma parábola at^2+bt+c:
    instante do vértice tv = -tfracb2a e altura H(tv).

Passo 2

Para a altura inicial (parte a), fazemos
H(0) = -(0)^2 + 5cdot 0 + 1 = 1

Passo 3

Para o tempo em que o projétil alcança o chão (parte b), resolvemos
-t^2 + 5t + 1 = 0
usando Bhaskara com a=-1, b=5, c=1:
t = -5 pm raiz5^2 - 4cdot(-1)cdot 12cdot(-1) = -5 pm raiz25 + 4-2 = -5 pm raiz29-2
Desprezamos a raiz negativa e ficamos com
t = 5 + raiz292

Passo 4

Para a altura máxima (parte c) e o instante em que ela ocorre (parte d), usamos o vértice da parábola. Como a=-1 e b=5:
tv = -b2a = -52cdot(-1) = 52
Substituindo em H(t):
Hl(tfrac52r) = -l(tfrac52r)^2 + 5cdot tfrac52 + 1 = -254 + 252 + 1 = -25 + 50 + 44 = 294

Resposta

a) A altura inicial é 1 m.
b) O projétil atinge o chão em t = 5 + raiz292 s.
c) A altura máxima é 294 m (7,25 m).
d) Ela ocorre em t = 52 s (2,5 s).

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