Um canal de comunicação binário envia um dentre dois tipos de sinais, denotados por 0 e 1. Devido ao ruído, um 0 transmitido é algumas vezes recebido como um 1 e um 1 transmitido é algumas vezes recebido como um 0. Para um dado canal, assuma uma probabilidade de 0,94 que um 0 transmitido seja corretamente recebido como um 0 e uma probabilidade de 0,91 que um 1 transmitido seja corretamente recebido como um 1. Adicionalmente, assuma uma probabilidade de 0,45 de se transmitir um 0. Se um sinal é enviado, determine:
a) a probabilidade de que um 1 seja recebido.
b) a probabilidade de que um 1 foi transmitido, dado que um 1 foi recebido.
c) a probabilidade de que um 0 foi transmitido, dado que um 0 foi recebido.
d) a probabilidade de um erro.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um canal de comunicação que envia sinais binários: 0 e 1. Por causa do ruído, às vezes um 0 enviado acaba sendo recebido como 1 e vice-versa. As informações que temos são:
  • A probabilidade de um 0 enviado ser recebido corretamente como 0 é de 0,94.
  • A probabilidade de um 1 enviado ser recebido corretamente como 1 é de 0,91.
  • A probabilidade de enviar um 0 é de 0,45.
Vamos precisar usar conceitos de probabilidade, como probabilidade condicional e teorema de Bayes, para resolver as questões a), b), c) e d).

Passo 2

Vamos resolver a primeira parte:
a) Qual é a probabilidade de que um 1 seja recebido?
Para encontrar essa probabilidade, precisamos considerar duas possibilidades:
  1. Um 1 foi enviado e foi recebido corretamente.
  2. Um 0 foi enviado, mas devido ao ruído, foi recebido como 1.
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades e somá-las.
  • Probabilidade de enviar 1: P(1 enviado) = 1 - P(0 enviado) = 1 - 0,45 = 0,55.
  • Probabilidade de um 1 enviado ser recebido como 1: P(1 recebido | 1 enviado) = 0,91.
  • Probabilidade de um 0 enviado ser recebido como 1: P(1 recebido | 0 enviado) = 1 - P(0 recebido | 0 enviado) = 1 - 0,94 = 0,06.
Agora, aplicamos a regra da probabilidade total:
P(1 recebido) = P(1 enviado) times P(1 recebido | 1 enviado) + P(0 enviado) times P(1 recebido | 0 enviado)
Substituindo os valores:
P(1 recebido) = 0,55 times 0,91 + 0,45 times 0,06

Resposta

A probabilidade de que um 1 seja recebido é:
P(1 recebido) = 0,55 times 0,91 + 0,45 times 0,06 = 0,5005 + 0,027 = 0,5275
Ou seja, aproximadamente 52,75%.

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