Seja X: N(80,26). Dessa população retiramos uma amostra de n=25. Calcular P(barx>83)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma distribuição normal com média ( mu) igual a 80 e variância ( sigma^2) igual a 26. Tiramos uma amostra de tamanho n = 25 dessa população. A parada é calcular a probabilidade de que a média da amostra ( barx) seja maior que 83. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Estatística, especificamente sobre distribuição da média amostral.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que quando tiramos uma amostra de uma população normal, a média das amostras também segue uma distribuição normal. A média dessa distribuição será igual à média da população ( mu = 80) e o desvio padrão será o desvio padrão da população ( sigma) dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra ( n).

Passo 3

Vamos calcular o desvio padrão da distribuição da média amostral. Sabemos que sigma^2 = 26, então sigma = raiz26 approx 5,10. Agora, dividimos isso pela raiz de 25, que é 5:
sigmabarx = sigmaraizn = 5,105 = 1,02

Passo 4

Agora, queremos encontrar P(barx > 83). Para isso, vamos transformar isso em um valor z usando a fórmula:
z = barx - musigmabarx = 83 - 801,02 approx 2,94

Passo 5

Com o valor z calculado, buscamos na tabela da distribuição normal padrão ou usamos uma calculadora para encontrar a probabilidade correspondente. O valor de z approx 2,94 nos dá uma probabilidade de cerca de 0,0016 para P(z > 2,94).

Resposta

A probabilidade de que a média da amostra seja maior que 83 é aproximadamente 0,16%.

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