Um canal de comunicação binário envia um dentre dois tipos de sinais, denotados por 0 e 1. Devido ao ruído, um 0 transmitido é algumas vezes recebido como um 1 e um 1 transmitido é algumas vezes recebido como um 0. Para um dado canal, assuma uma probabilidade de 0,94 que um 0 transmitido seja corretamente recebido como um 0 e uma probabilidade de 0,91 que um 1 transmitido seja corretamente recebido como um 1. Adicionalmente, assuma uma probabilidade de 0,45 de se transmitir um 0. Se um sinal é enviado, determine:
b) a probabilidade de que um 1 foi transmitido, dado que um 1 foi recebido.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de probabilidade! O enunciado fala sobre um canal de comunicação binário que envia 0s e 1s, mas por causa do ruído, às vezes os sinais são confundidos. Nosso objetivo aqui é descobrir qual a probabilidade de que um “1” foi realmente transmitido, dado que recebemos um “1”. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e o Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos listar o que sabemos:
  • A probabilidade de transmitir um “0” é 0,45.
  • Portanto, a probabilidade de transmitir um “1” é 1 - 0,45 = 0,55.
Também sabemos:
  • Se um “0” é transmitido, a probabilidade de ser recebido corretamente como “0” é 0,94. Então, a probabilidade de um “0” ser recebido como “1” é 1 - 0,94 = 0,06.
  • Se um “1” é transmitido, a probabilidade de ser recebido corretamente como “1” é 0,91. Então, a probabilidade de um “1” ser recebido como “0” é 1 - 0,91 = 0,09.

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de que um “1” foi transmitido, dado que recebemos um “1”. Vamos chamar isso de P(Transmitiu 1 | Recebeu 1).
Para calcular isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que diz:
P(A|B) = P(B|A) cdot P(A)P(B)
Onde:
  • $ P(A|B) $ é a probabilidade que queremos encontrar.
  • $ P(B|A) $ é a probabilidade de recebermos um “1” dado que transmitimos um “1”.
  • $ P(A) $ é a probabilidade de transmitir um “1”.
  • $ P(B) $ é a probabilidade de recebermos um “1” de qualquer maneira.

Passo 4

Vamos calcular cada parte:
  1. $ P(B|A) = 0,91 $ (probabilidade de receber “1” quando transmitiu “1”)
  2. $ P(A) = 0,55 $ (probabilidade de transmitir “1”)
  3. Para $ P(B) $, que é a probabilidade de receber “1” de qualquer forma, temos duas possibilidades:
    • Transmitir “0” e receber “1”: $ 0,45 \times 0,06 = 0,027 $
    • Transmitir “1” e receber “1”: $ 0,55 \times 0,91 = 0,5005 $
    Portanto, $ P(B) = 0,027 + 0,5005 = 0,5275 $

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema de Bayes:
P(Transmitiu 1 | Recebeu 1) = 0,91 times 0,550,5275
Vamos calcular isso:
P(Transmitiu 1 | Recebeu 1) = 0,50050,5275 approx 0,95

Resposta

A probabilidade de que um “1” foi transmitido, dado que um “1” foi recebido, é aproximadamente 0,95 ou 95%.

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