Em uma linha de produção de certa peça mecânica, colheu-se uma amostra de 100 itens, constatando-se que 8 peças eram defeituosas. Construir o IC para a proporção p das peças defeituosas ao nível de 10%.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um exercício sobre estatística, especificamente sobre como construir um intervalo de confiança para uma proporção. No caso, em uma amostra de 100 peças mecânicas, encontraram 8 defeituosas. Nosso objetivo é construir o intervalo de confiança para a proporção $ p $ de peças defeituosas, com um nível de confiança de 90%.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar a proporção amostral $ \hat{p} $, que é o número de peças defeituosas dividido pelo total da amostra. Assim, $ \hat{p} = \frac{8}{100} = 0,08 $ ou 8%.

Passo 3

O próximo passo é determinar o nível de confiança. Como o nível de significância é de 10%, o nível de confiança é de $ 100% - 10% = 90% $. Isso corresponde a um valor crítico $ z $ que podemos encontrar na tabela da distribuição normal padrão. Para 90% de confiança, $ z \approx 1,645 $.

Passo 4

Agora, usamos a fórmula do intervalo de confiança para proporção:
p pm z times raizp(1 - p)n
Onde:
  • $ \hat{p} = 0,08 $
  • $ z = 1,645 $
  • $ n = 100 $

Passo 5

Vamos calcular o erro padrão:
raiz0,08 times 0,92100 = raiz0,0736100 = raiz0,000736 approx 0,0271

Passo 6

Agora, multiplicamos o valor crítico $ z $ pelo erro padrão:
z

Passo 7

Finalmente, construímos o intervalo de confiança:
0,08 pm 0,0445 Rightarrow (0,08 - 0,0445, 0,08 + 0,0445) Rightarrow (0,0355, 0,1245)

Resposta

O intervalo de confiança de 90% para a proporção de peças defeituosas é de aproximadamente $ 3,55% $ a $ 12,45% $.

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