Seja
. Calcular:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição normal, ou seja, é representada por $ X \sim N(120, 16) $. O que isso quer dizer é que $ X $ tem uma média ($ \mu
\sigma $) de 4 (já que a variância é 16 e o desvio é a raiz quadrada da variância). A questão pede para calcularmos a probabilidade de $ X $ ser menor que 108, ou seja, $ P(X < 108) $. Para resolver isso, vamos precisar usar a tabela da distribuição normal padrão e padronizar o valor de 108.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa distribuição normal $ N(120, 16) $. A média $ \mu = 120 $ indica o centro da distribuição, e o desvio padrão $ \sigma = 4 $ nos mostra a dispersão dos dados em torno dessa média. Queremos saber qual é a probabilidade de $ X $ assumir um valor menor que 108.
Passo 3
Para encontrar essa probabilidade, precisamos converter o valor 108 para a distribuição normal padrão, que tem média 0 e desvio padrão 1. Isso é feito através da padronização, usando a fórmula:
Onde:
- $ X $ é o valor que queremos padronizar (108),
- $ \mu $ é a média (120),
- $ \sigma $ é o desvio padrão (4).
Passo 4
Aplicando a fórmula:
Então, $ Z = -3 $. Isso significa que 108 está 3 desvios padrão abaixo da média.
Passo 5
Agora, queremos encontrar $ P(Z < -3) $, que é a probabilidade de que um valor na distribuição normal padrão seja menor que -3. Para isso, usamos a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora que nos dá essa probabilidade.
Passo 6
Consultando a tabela da normal padrão ou utilizando uma calculadora, encontramos que:
Isso significa que há aproximadamente 0,13% de chance de $ X $ ser menor que 108.
Resposta
A probabilidade de $ X $ ser menor que 108 é aproximadamente 0,13%.