Seja X: N(120,16). Calcular:
P(109 <= X <= 128)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão quer que a gente calcule a probabilidade de uma variável aleatória X, que segue uma distribuição normal com média 120 e variância 16 (ou desvio padrão 4), estar entre 109 e 128. Ou seja, queremos encontrar P(109 <= X <= 128). Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos da estatística relacionados à distribuição normal e ao cálculo de probabilidades usando a tabela Z.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma distribuição normal N(mu, sigma^2). Aqui, mu = 120 é a média, e sigma^2 = 16 é a variância, então o desvio padrão sigma = raiz16 = 4. A distribuição normal é simétrica em torno da média, e usamos ela para calcular probabilidades de a variável assumir valores dentro de certos intervalos.

Passo 3

Para calcular P(109 <= X <= 128), precisamos encontrar a probabilidade de X ser menor ou igual a 128 e subtrair a probabilidade de X ser menor que 109. Em termos matemáticos:
P(109 <= X <= 128) = P(X <= 128) - P(X < 109)

Passo 4

Agora, vamos padronizar esses valores usando a fórmula do escore Z, que transforma a variável X em uma variável padrão Z que segue a distribuição normal padrão N(0,1). A fórmula é:
Z = X - musigma
Para X = 128:
Z1 = 128 - 1204 = 84 = 2
Para X = 109:
Z2 = 109 - 1204 = -114 = -2.75

Passo 5

Com os valores de Z calculados, vamos agora usar a tabela da distribuição normal padrão para encontrar as probabilidades correspondentes.
  • P(Z <= 2) approx 0.9772
  • P(Z <= -2.75) approx 0.0030

Passo 6

Voltando à nossa equação inicial:
P(109 <= X <= 128) = P(Z <= 2) - P(Z <= -2.75) approx 0.9772 - 0.0030 = 0.9742

Resposta

A probabilidade de X estar entre 109 e 128 é aproximadamente 97,42%.

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