Seja
. Calcular:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão quer que a gente calcule a probabilidade de uma variável aleatória
, que segue uma distribuição normal com média 120 e variância 16 (ou desvio padrão 4), estar entre 109 e 128. Ou seja, queremos encontrar
. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos da estatística relacionados à distribuição normal e ao cálculo de probabilidades usando a tabela Z.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma distribuição normal
. Aqui,
é a média, e
é a variância, então o desvio padrão
. A distribuição normal é simétrica em torno da média, e usamos ela para calcular probabilidades de a variável assumir valores dentro de certos intervalos.
Passo 3
Para calcular
, precisamos encontrar a probabilidade de
ser menor ou igual a 128 e subtrair a probabilidade de
ser menor que 109. Em termos matemáticos:
Passo 4
Agora, vamos padronizar esses valores usando a fórmula do escore Z, que transforma a variável
em uma variável padrão
que segue a distribuição normal padrão
. A fórmula é:
Para
:
Para
:
Passo 5
Com os valores de Z calculados, vamos agora usar a tabela da distribuição normal padrão para encontrar as probabilidades correspondentes.
Passo 6
Voltando à nossa equação inicial:
Resposta
A probabilidade de
estar entre 109 e 128 é aproximadamente
.