Um canal de comunicação binário transmite uma sequência de “bits” (0s e 1s). Suponha que para uma transmissão qualquer de bits, existe 10 % de chance de ocorrer um erro de transmissão (um ‘0’ se torna um ‘1’ ou um ‘1’ se torna um ‘0’). Assuma que erros em bits são independentes. Considere uma transmissão de 1000 bits. Qual é a probabilidade aproximada de ocorrerem no máximo 125 erros?

Passo 1

O enunciado fala de um canal binário com 1000 bits transmitidos, cada um podendo falhar com probabilidade de 10%. Precisamos do conteúdo de Distribuição Binomial e da Aproximação Normal (Teorema do Limite Central) para calcular P(X ≤ 125), onde X é o número de erros.

Passo 2

Definimos X como o número de bits corrompidos. Então X segue uma distribuição Binomial com parâmetros n = 1000 e p = 0.1. Isso significa que E[X] = np = 100 e Var(X) = np(1-p) = 1000 times 0.1 times 0.9 = 90, logo sigma = raiz90 approx 9.4868.

Passo 3

Como n é grande, aplicamos a Aproximação Normal a X: X approx N(mu = 100, sigma^2 = 90). Usamos ainda a correção de continuidade para valores discretos; para P(X ≤ 125) substituímos 125 por 125.5.

Passo 4

Calculamos o escore-padrão (valor z):
z = 125.5 - 1009.4868 approx 2.69

Passo 5

Agora consultamos a tabela da função distribuição normal padrão Phi(z). Para z ≈ 2.69, temos Phi(2.69) approx 0.9964.

Passo 6

Portanto, a probabilidade aproximada de ocorrerem no máximo 125 erros em 1000 bits é cerca de 0.9964.

Resposta

0.9964 (aproximadamente 99,64%)

Exercícios relacionados