Questão 4.
Em um tipo de loteria o apostador ganha o prêmio principal se acertar 3 dentre 20 números e há um prêmio especial caso acerte também a ordem de extração de 2 letras de um total de 24. Determine:
(a) As probabilidades acertar o prêmio princial e o especial com uma aposta. (1,0 ponto)
(b) Determine quantos jogos a apostador precisa fazer para que suas chances de ganhar o prêmio principal sejam de pelo menos
. ( 1,5 ponto)
(a) As probabilidades acertar o prêmio princial e o especial com uma aposta. (1,0 ponto)
(b) Determine quantos jogos a apostador precisa fazer para que suas chances de ganhar o prêmio principal sejam de pelo menos
Passo 1
No enunciado, o apostador escolhe 3 números dentre 20 e 2 letras dentre 24 em ordem. Ganha o prêmio principal se acertar os 3 números e o prêmio especial se também acertar a ordem das 2 letras. Vamos usar combinação para o principal, permutação para o especial e o evento complementar para parte (b).
Passo 2
Para o prêmio principal, a probabilidade de acertar exatamente os 3 números é o inverso do número de combinações de 3 em 20:
. Logo,
.
Passo 3
Para o prêmio especial, precisamos acertar 2 letras em ordem entre 24 possíveis. O número de casos é uma permutação de 24 tomadas de 2 em 2:
. Assim,
.
Passo 4
Como os dois eventos são independentes, a probabilidade de ganhar o prêmio principal e o especial com uma única aposta é o produto:
Passo 5
Para a parte (b), queremos que a chance de ganhar ao menos uma vez o prêmio principal em
apostas seja de pelo menos 10%. Usamos o evento complementar para montar a inequação:
Passo 6
Agora resolvemos a inequação aplicando logaritmo natural para isolar
:
$$
n \ge \frac{\ln(0.9)}{\ln\bigl(1 - \tfrac{1}{1140}\bigr)} \approx 120{,}05.$$
Como deve ser inteiro, precisamos de
apostas.
Como
Resposta
(a)
. (b) Pelo menos 121 apostas.