Questão 4.

Em um tipo de loteria o apostador ganha o prêmio principal se acertar 3 dentre 20 números e há um prêmio especial caso acerte também a ordem de extração de 2 letras de um total de 24. Determine:
(a) As probabilidades acertar o prêmio princial e o especial com uma aposta. (1,0 ponto)
(b) Determine quantos jogos a apostador precisa fazer para que suas chances de ganhar o prêmio principal sejam de pelo menos 10 %. ( 1,5 ponto)

Passo 1

No enunciado, o apostador escolhe 3 números dentre 20 e 2 letras dentre 24 em ordem. Ganha o prêmio principal se acertar os 3 números e o prêmio especial se também acertar a ordem das 2 letras. Vamos usar combinação para o principal, permutação para o especial e o evento complementar para parte (b).

Passo 2

Para o prêmio principal, a probabilidade de acertar exatamente os 3 números é o inverso do número de combinações de 3 em 20: binom203 = 20!3!17! = 1140. Logo, pprin = 11140.

Passo 3

Para o prêmio especial, precisamos acertar 2 letras em ordem entre 24 possíveis. O número de casos é uma permutação de 24 tomadas de 2 em 2: P(24,2) = 24cdot23 = 552. Assim, pesp = 1552.

Passo 4

Como os dois eventos são independentes, a probabilidade de ganhar o prêmio principal e o especial com uma única aposta é o produto:
11140cdot1552 = 1629280approx1,59times10^-6

Passo 5

Para a parte (b), queremos que a chance de ganhar ao menos uma vez o prêmio principal em n apostas seja de pelo menos 10%. Usamos o evento complementar para montar a inequação:
1 - l(1 - tfrac11140r)^n >= 0.1

Passo 6

Agora resolvemos a inequação aplicando logaritmo natural para isolar n:
l(1 - tfrac11140r)^n <= 0.9
$$
n \ge \frac{\ln(0.9)}{\ln\bigl(1 - \tfrac{1}{1140}\bigr)} \approx 120{,}05.$$
Como n >= ln(0.9)lnl(1 - tfrac11140r) approx 120,05 deve ser inteiro, precisamos de n apostas.

Resposta

(a) 1629280approx1.59times10^-6. (b) Pelo menos 121 apostas.

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