Uma regra de aponsetaria estabelece que um cidadão tem direito de se aponsetar quando a soma de sua idade e de seu tempo de contribuição é maior que 90 anos. Essas quantidades são normalmente distribuídas com médias mu idadade =65 e mu contribuição =30çã e desvios padrão sigma idade =10 e sigma contribuição =7çã.
(a) Supondo que essas variáveis não tenham correlação, determine a média e desvio padrão da sua soma.
(b) Supondo que essas variáveis não tenham correlação, qual é probabilidade de uma pessoa consesguir se aposentar?
© Avalie se, do ponto de vista lógico, existe alguma razão para haver correlação entre essas variáveis. Se sim, como tal correlação mudaria a probabilidade calculada.

Passo 1

Primeiro, resumindo o enunciado: a regra diz que uma pessoa se aposenta se a soma de sua idade X e do seu tempo de contribuição Y for maior que 90. Aqui X ~ N(μX=65, σX=10) e Y ~ N(μY=30, σY=7), sem correlação. Vamos usar teoria de soma de normais para obter a média e o desvio padrão de S = X + Y e depois calcular P(S > 90).

Passo 2

A média de S segue da propriedade de soma de variáveis independentes:
μS = μX + μY = 65 + 30 = 95
E a variância é a soma das variâncias (já que Cov=0), logo o desvio padrão é:
σS = raizσX^2 + σY^2 = raiz10^2 + 7^2 = raiz149 approx 12,206

Passo 3

Para calcular P(S > 90), padronizamos S em Z = (S - μ_S)/σ_S. Primeiro encontramos o valor de z:
z = 90 - 95raiz149 approx -0,409
Logo, usando a simetria da normal padrão, temos: P(S > 90) = P(Z > -0,409) = P(Z < 0,409) ≈ 0,659.

Passo 4

Do ponto de vista lógico, quanto maior a idade de alguém, maior tende a ser seu tempo de contribuição, então faz sentido existir correlação positiva entre X e Y.
Se X e Y fossem positivamente correlacionadas, teríamos Var(S) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y) > Var(X)+Var(Y), o que aumenta σ_S. Como o limiar 90 está abaixo da média μ_S=95, um σ maior faz com que P(S>90) = P(Z > (90-μ_S)/σ_S) diminua, reduzindo a probabilidade de aposentadoria.

Resposta

a) μ_S = 95 e σ_S ≈ 12,206; b) P(S > 90) ≈ 0,659; c) espera-se correlação positiva entre idade e tempo de contribuição, e isso diminuiria a probabilidade de aposentadoria.

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