Determinar as características (profundidade, velocidade, energia e declividade) do regime crítico para uma vazão de 3 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} considerando:
canal trapezoidal com largura da base de 2 \mathrm{~m} \mathrm{e} \mathrm{z}=2. Considere n=0,010 para todas as seções.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine as características do regime crítico (profundidade crítica, velocidade crítica, energia específica crítica e declividade associada) para uma vazão \;Q=3\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.\n
Dados fornecidos:
\;b=2\\ \mathrm{m} (largura da base do canal trapezoidal), \;z=2 (declividade lateral: 2 unidades horizontais por 1 vertical), \;n=0{,}010 (coeficiente de Manning).\n
O que devo encontrar:
  • profundidade crítica \;y_c (em m),
  • velocidade média no regime crítico \;V_c (em m/s),
  • energia específica no regime crítico \;E_c (em m),
  • declividade do leito \;S que faz com que a profundidade normal seja igual à profundidade crítica (i.e., a inclinação para que o escoamento uniforme seja crítico), usando a fórmula de Manning.

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (explicação didática e passo a passo).\n
  1. Condição de regime crítico (Froude unitário): o número de Froude vale 1. A definição do número de Froude para seção arbitrária é
\mathrm{Fr}=\frac{\overline{V}}{\sqrt{g\,A/T}},
onde \overline{V} é a velocidade média, g é a aceleração da gravidade, A é a área molhada e T é a largura superficial (top width) da seção. A condição crítica é \mathrm{Fr}=1, logo
\overline{V}^{2}=g\frac{A}{T}.
Como \overline{V}=Q/A, substituindo obtemos a equação de profundidade crítica:
Q^{2}=\frac{g\,A^{3}}{T}.
Essa equação é a que vamos resolver para encontrar \;y_c.\n
2) Para um canal trapezoidal (base b, talude z), as fórmulas geométricas em função da profundidade y são:
A(y)=b\,y+z\,y^{2},
T(y)=b+2z\,y.
Explico: A = área retangular b y + duas meias‑bases triangulares que juntas dão z y^{2}. T é a largura na superfície: largura da base b mais as projeções horizontais dos dois taludes 2 z y.\n
3) Para calcular a declividade S que torna a profundidade normal igual à profundidade crítica usamos a equação de Manning para escoamento uniforme:
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde R é o raio hidráulico R=A/P (com P a perímetro molhado). Isolando S obtemos
S=\left(\frac{Q\,n}{A\,R^{2/3}}\right)^{2}.
Para o perímetro molhado do trapézio:
P=b+2\,y\sqrt{1+z^{2}}.

Passo 3

Aplicação ao problema: escrever a equação crítica em função de y e preparar para resolver numericamente.\n
Substituindo A(y) e T(y) na equação crítica Q^{2}=g A^{3}/T e usando b=2 e z=2 temos:
A(y)=2y+2y^{2}=2y(1+y),
T(y)=2+4y=2(1+2y).
Logo
Q^{2}=\frac{g\,[2y(1+y)]^{3}}{2(1+2y)}.
Fatorando e simplificando obtemos
Q^{2}=\frac{4g\,y^{3}(1+y)^{3}}{1+2y}.
Agora substituo os valores numéricos Q=3\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} e g=9{,}81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2, isto é Q^{2}=9. A equação para y fica
\frac{4\cdot 9{,}81\;y^{3}(1+y)^{3}}{1+2y}=9.
Simplificando o fator numérico:
\frac{39{,}24\;y^{3}(1+y)^{3}}{1+2y}=9 \quad\Longrightarrow\quad y^{3}(1+y)^{3}=0{,}229293\,(1+2y),
onde 0{,}229293\approx 9/39{,}24.

Passo 4

Resolução numérica para \;y_c (método e iterações, explicado e mastigado).\n
A equação é não‑linear; vou usar um método simples de busca (bissecção/interpolação) e avaliar a função
f(y)=\frac{4g\,y^{3}(1+y)^{3}}{1+2y}-9
até encontrar f(y)\approx 0.\n
Avaliações rápidas para localizar o intervalo:
  • y=0{,}2\\ \mathrm{m}\Rightarrow f(0{,}2)<0 (muito pequeno);
  • y=1{,}0\\ \mathrm{m}\Rightarrow f(1{,}0)>0 (muito grande).\n
    Refinando entre 0{,}5 e 0{,}52:\n
  • Para y=0{,}50: calcular y^{3}(1+y)^{3}\approx 0{,}421875 e o termo do lado direito 0{,}229293(1+2y)=0{,}458586. Aqui LHS<RHS\Rightarrow f(0{,}50)<0.\n
  • Para y=0{,}52: y^{3}(1+y)^{3}\approx 0{,}4939 e 0{,}229293(1+2y)=0{,}4678. Aqui LHS>RHS\Rightarrow f(0{,}52)>0.\n
    Mais refinamento entre 0{,}51 e 0{,}52:\n
  • y=0{,}512: calculei exatamente os termos e encontrei f(0{,}512)\approx -1\times 10^{-4} (próximo de zero, ligeiramente negativo).\n
  • y=0{,}513: f(0{,}513) ficou positivo (maior que zero).\n
    Com isso a raiz situa‑se entre 0{,}512 e 0{,}513. Tomando aproximação com precisão prática para prova obtenho:
\boxed{y_c\approx 0{,}512\\ \mathrm{m}}.

Passo 5

Cálculo da área A_c e da largura superficial T_c na profundidade crítica e da velocidade média crítica.\n
Usando y_c=0{,}512\\ \mathrm{m}:
A_c=A(y_c)=2y_c+2y_c^{2}=2\cdot 0{,}512+2\cdot(0{,}512)^{2}=1{,}548288\\ \mathrm{m}^{2}.
T_c=T(y_c)=2+4y_c=2+4\cdot 0{,}512=4{,}048\\ \mathrm{m}.
Velocidade média:
V_c=\frac{Q}{A_c}=\frac{3}{1{,}548288}\approx 1{,}937\\ \mathrm{m/s}.
(Confere com a condição crítica: \;V_c\approx\sqrt{gA_c/T_c}.)

Passo 6

Cálculo da energia específica crítica \;E_c.\n
A energia específica é
E_c=y_c+\frac{V_c^{2}}{2g}.
Calculemos:
V_c^{2}\approx (1{,}937)^{2}\approx 3{,}753,\qquad \frac{V_c^{2}}{2g}\approx\frac{3{,}753}{2\cdot 9{,}81}\approx 0{,}1914\\ \mathrm{m}.
Portanto
E_c\approx 0{,}512+0{,}1914=0{,}7034\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Cálculo da declividade S usando Manning, explicando cada passo.\n
Primeiro o perímetro molhado P_c e o raio hidráulico R_c:
P_c=b+2y_c\sqrt{1+z^{2}}=2+2\cdot 0{,}512\sqrt{1+4}=2+4{,}472136\cdot 0{,}512\approx 4{,}289734\\ \mathrm{m}.
R_c=\frac{A_c}{P_c}=\frac{1{,}548288}{4{,}289734}\approx 0{,}36094\\ \mathrm{m}.
Agora aplico a fórmula isolada para S:
S=\left(\frac{Q\,n}{A_c\,R_c^{2/3}}\right)^{2}.
Calculei R_c^{2/3}\approx 0{,}5070 e então
A_c\,R_c^{2/3}\approx 1{,}548288\cdot 0{,}5070\approx 0{,}78509,
\frac{Q\,n}{A_c\,R_c^{2/3}}=\frac{3\cdot 0{,}01}{0{,}78509}\approx 0{,}038217,
S\approx (0{,}038217)^{2}\approx 0{,}0014605.
Em porcentagem a declividade é \approx 0{,}146\%. Interpretação: essa é a declividade do leito que faria com que a profundidade normal (pela fórmula de Manning) fosse igual à profundidade crítica calculada — ou seja, a inclinação para que o escoamento uniforme seja crítico.

Passo 8

Cheque rápido do número de Froude para verificar a condição crítica (consistência)\n
Calculo do denominador de Fr:
\sqrt{\frac{gA_c}{T_c}}=\sqrt{\frac{9{,}81\cdot 1{,}548288}{4{,}048}}\approx 1{,}938\\ \mathrm{m/s},
e \;V_c\approx 1{,}937\\ \mathrm{m/s}, logo \mathrm{Fr}\approx 1 (consistente com regime crítico).

Resposta

Profundidade crítica: \;y_c\approx 0{,}512\\ \mathrm{m}
Velocidade crítica: \;V_c\approx 1{,}937\\ \mathrm{m/s}
Energia específica crítica: \;E_c\approx 0{,}703\\ \mathrm{m}
Declividade (para que y_n=y_c pela fórmula de Manning): \;S\approx 0{,}00146 (ou 0{,}146\%)

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