Determinar as características (profundidade, velocidade, energia e declividade) do regime crítico para uma vazão de 3 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} considerando:
canal trapezoidal com largura da base de 2 \mathrm{~m} \mathrm{e} \mathrm{z}=2. Considere n=0,010 para todas as seções.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine as características do regime crítico (profundidade crítica, velocidade crítica, energia específica crítica e declividade associada) para uma vazão \;Q=3\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.\n
Dados fornecidos: \;b=2\\ \mathrm{m} (largura da base do canal trapezoidal), \;z=2 (declividade lateral: 2 unidades horizontais por 1 vertical), \;n=0{,}010 (coeficiente de Manning).\n
O que devo encontrar:
profundidade crítica \;y_c (em m),
velocidade média no regime crítico \;V_c (em m/s),
energia específica no regime crítico \;E_c (em m),
declividade do leito \;S que faz com que a profundidade normal seja igual à profundidade crítica (i.e., a inclinação para que o escoamento uniforme seja crítico), usando a fórmula de Manning.
Passo 2
Conceitos e fórmulas essenciais (explicação didática e passo a passo).\n
Condição de regime crítico (Froude unitário): o número de Froude vale 1. A definição do número de Froude para seção arbitrária é
\mathrm{Fr}=\frac{\overline{V}}{\sqrt{g\,A/T}},
onde \overline{V} é a velocidade média, g é a aceleração da gravidade, A é a área molhada e T é a largura superficial (top width) da seção. A condição crítica é \mathrm{Fr}=1, logo
\overline{V}^{2}=g\frac{A}{T}.
Como \overline{V}=Q/A, substituindo obtemos a equação de profundidade crítica:
Q^{2}=\frac{g\,A^{3}}{T}.
Essa equação é a que vamos resolver para encontrar \;y_c.\n
2) Para um canal trapezoidal (base b, talude z), as fórmulas geométricas em função da profundidade y são:
A(y)=b\,y+z\,y^{2},
T(y)=b+2z\,y.
Explico: A = área retangular b y + duas meias‑bases triangulares que juntas dão z y^{2}. T é a largura na superfície: largura da base b mais as projeções horizontais dos dois taludes 2 z y.\n
3) Para calcular a declividade S que torna a profundidade normal igual à profundidade crítica usamos a equação de Manning para escoamento uniforme:
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde R é o raio hidráulico R=A/P (com P a perímetro molhado). Isolando S obtemos
S=\left(\frac{Q\,n}{A\,R^{2/3}}\right)^{2}.
Para o perímetro molhado do trapézio:
P=b+2\,y\sqrt{1+z^{2}}.
Passo 3
Aplicação ao problema: escrever a equação crítica em função de y e preparar para resolver numericamente.\n
Substituindo A(y) e T(y) na equação crítica Q^{2}=g A^{3}/T e usando b=2 e z=2 temos:
A(y)=2y+2y^{2}=2y(1+y),
T(y)=2+4y=2(1+2y).
Logo
Q^{2}=\frac{g\,[2y(1+y)]^{3}}{2(1+2y)}.
Fatorando e simplificando obtemos
Q^{2}=\frac{4g\,y^{3}(1+y)^{3}}{1+2y}.
Agora substituo os valores numéricos Q=3\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} e g=9{,}81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2, isto é Q^{2}=9. A equação para y fica
Resolução numérica para \;y_c (método e iterações, explicado e mastigado).\n
A equação é não‑linear; vou usar um método simples de busca (bissecção/interpolação) e avaliar a função
f(y)=\frac{4g\,y^{3}(1+y)^{3}}{1+2y}-9
até encontrar f(y)\approx 0.\n
Avaliações rápidas para localizar o intervalo:
y=1{,}0\\ \mathrm{m}\Rightarrow f(1{,}0)>0 (muito grande).\n
Refinando entre 0{,}5 e 0{,}52:\n
Para y=0{,}50: calcular y^{3}(1+y)^{3}\approx 0{,}421875 e o termo do lado direito 0{,}229293(1+2y)=0{,}458586. Aqui LHS<RHS\Rightarrow f(0{,}50)<0.\n
Para y=0{,}52: y^{3}(1+y)^{3}\approx 0{,}4939 e 0{,}229293(1+2y)=0{,}4678. Aqui LHS>RHS\Rightarrow f(0{,}52)>0.\n
Mais refinamento entre 0{,}51 e 0{,}52:\n
y=0{,}512: calculei exatamente os termos e encontrei f(0{,}512)\approx -1\times 10^{-4} (próximo de zero, ligeiramente negativo).\n
y=0{,}513: f(0{,}513) ficou positivo (maior que zero).\n
Com isso a raiz situa‑se entre 0{,}512 e 0{,}513. Tomando aproximação com precisão prática para prova obtenho:
\boxed{y_c\approx 0{,}512\\ \mathrm{m}}.
Passo 5
Cálculo da área A_c e da largura superficial T_c na profundidade crítica e da velocidade média crítica.\n
Usando y_c=0{,}512\\ \mathrm{m}:
Em porcentagem a declividade é \approx 0{,}146\%. Interpretação: essa é a declividade do leito que faria com que a profundidade normal (pela fórmula de Manning) fosse igual à profundidade crítica calculada — ou seja, a inclinação para que o escoamento uniforme seja crítico.
Passo 8
Cheque rápido do número de Froude para verificar a condição crítica (consistência)\n
Calculo do denominador de Fr: