Em um canal retangular, bastante longo, com declividade de fundo \mathrm{I}_{0}=2 \mathrm{~m} / \mathrm{km}, rugosidade \mathrm{n}=0,015 e largura de 3,0 \mathrm{~m}, existe uma comporta plana vertical de igual largura, cuja carga a montante é \mathrm{H}=1,8 \mathrm{~m} e abertura de fundo \mathrm{b}=0,3 \mathrm{~m}. Suficientemente afastado da comporta instalou-se um vertedor retangular de parede fina com duas contrações laterais, largura da soleira igual L=2,80 \mathrm{~m} e altura \mathrm{p}=0,40 \mathrm{~m}. Verifique a possibilidade da ocorrência de um ressalto hidráulico. Se houver, calcule as alturas conjugadas e trace o perfil d’água entre a comporta e o vertedor, indicando as alturas de água.

Passo 1

O problema trata de um canal retangular de largura B=3{,}0\\ \mathrm{m} e declividade de fundo I_0=2\\ \mathrm{m/km}=0{,}002. Há uma comporta plana vertical com vão de fundo b=0{,}3\\ \mathrm{m} e carga a montante H=1{,}8\\ \mathrm{m}, e muito afastado há um vertedor retangular de parede fina com duas contrações laterais, soleira de largura L=2{,}80\\ \mathrm{m} e altura de crista p=0{,}40\\ \mathrm{m}.
Conteúdos necessários:
\bullet Fórmula de orifício livre para comporta (coeficiente de descarga C_d).
\bullet Número de Froude e identificação de regime crítico/supercrítico.
\bullet Fórmula de salto hidráulico para profundidades conjugadas.
\bullet Fórmula de vertedor livre (coeficiente de descarga C_w).
\bullet Comparação da profundidade conjugada com a cota de água no vertedor para verificar o salto.

Passo 2

Calcular a vazão que passa pela comporta como orifício livre. Adotamos C_d=0{,}60. A área de seção do orifício é
A_o = B\,b = 3{,}0 \times 0{,}3 = 0{,}90\\ \mathrm{m^2}.
A carga sobre o orifício é H=1{,}8\\ \mathrm{m}. Portanto,
Q = C_d\,A_o\,\sqrt{2gH} = 0{,}60 \times 0{,}90 \times \sqrt{2\cdot9{,}81\cdot1{,}8} \approx 3{,}21\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 3

Determinar o regime logo abaixo da comporta. A profundidade de escoamento ali é igual ao vão y_1=b=0{,}3\\ \mathrm{m} e a velocidade
v_1 = \frac{Q}{B\,y_1} = \frac{3{,}21}{3{,}0\times0{,}3} = 3{,}57\\ \mathrm{m/s}.
O número de Froude correspondente é
\mathrm{Fr}_1 = \frac{v_1}{\sqrt{g\,y_1}} = \frac{3{,}57}{\sqrt{9{,}81\times0{,}3}} \approx 2{,}08 >1,
logo o escoamento é supercrítico depois da comporta.

Passo 4

Caso ocorresse salto hidráulico, a profundidade conjugada y_2 a montante do salto viria da fórmula
y_2 \;=\; y_1 \,\frac{\sqrt{1 + 8\,\mathrm{Fr}_1^2}\;-\;1}{2} \;=\;0{,}3\;\frac{\sqrt{1+8\,(2{,}08)^2}-1}{2} \approx 0{,}75\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Agora, vê-se qual seria a cota de água exigida pelo vertedor para passar essa mesma vazão Q. Adotamos coeficiente de weir livre C_w=0{,}62. A fórmula do vertedor livre é
Q = \tfrac23\,C_w\,L\,\sqrt{2g}\;H_w^{3/2},
onde H_w é a lâmina excessiva sobre a crista. Isolando H_w,
H_w = \biggl[\frac{Q}{\tfrac23\,C_w\,L\,\sqrt{2g}}\biggr]^{2/3} \approx \bigl[\tfrac{3{,}21}{0{,}413\times2{,}80}\bigr]^{2/3} \approx 0{,}71\\ \mathrm{m}.
Então a profundidade de água na soleira do vertedor é
y_w = p + H_w = 0{,}40 + 0{,}71 = 1{,}11\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Comparando a profundidade conjugada do salto (
y_2 \approx 0{,}75
) com a lâmina que o vertedor impõe (
y_w = 1{,}11
), vemos que
y_2 \;<\; y_w.
Isto significa que, mesmo que o salto se formasse, a lâmina do vertedor é mais alta e ``drena'' a água acima de 0{,}75,m, impedindo o estabelecimento de um salto livre entre comporta e vertedor.

Passo 7

Conclusão sobre o perfil d’água entre comporta e vertedor:
\bullet Logo após a comporta a profundidade é y_1 = 0{,}30\\ \mathrm{m} e o escoamento é supercrítico.
\bullet Não há salto hidráulico (a cota imposta pelo vertedor é maior que a profundidade conjugada).
\bullet A lâmina de água varia de 0{,}30,m (saída da comporta) a 1{,}11,m (montante do vertedor) seguindo um perfil supercrítico do tipo M_2 (profundidades crescentes no trecho).

Resposta

Não ocorre salto hidráulico entre a comporta e o vertedor. O perfil d’água é supercrítico (perfil M_2), com profundidade 0{,}30\\ \mathrm{m} na saída da comporta e 1{,}11\\ \mathrm{m} a montante do vertedor.

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