2- Um cilindro com o volume inicial a 3 \mathrm{~m}^{3} contém 0,1 \mathrm{~kg} de água a 40^{\circ} \mathrm{C}. A água é então comprimida através de um processo isotérmico até se tenha 25 \% de vapor. Assumindo que o vapor de água se comporta como gás ideal, calcule o trabalho em kJ/ kg e kJ efetuado neste processo, assim como \mathrm{P}_{1} e \mathrm{P}_{2}.

Passo 1

O enunciado dá um cilindro com massa de água m=0,1\\ \mathrm{kg}, volume inicial
V_{1}=3\\ \mathrm{m}^{3},
temperatura constante de T=40^\circ\mathrm{C}=313{,}15\\ \mathrm{K} e pede o trabalho no processo isotérmico em \mathrm{kJ/kg} e em \mathrm{kJ}, além das pressões P_{1} e P_{2}. Assumimos vapor de água como gás ideal com constante \displaystyle R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. O processo é:
  1. Compressão isoterma de vapor superaquecido até atingir a pressão de saturação P_{\mathrm{sat}} a 40^\circ\mathrm{C}.
  2. Compressão contínua à pressão constante P_{2}=P_{\mathrm{sat}} até a qualidade x_{2}=25\%.

Passo 2

Calcular a pressão inicial P_{1} usando a equação dos gases ideais no estado superaquecido:
P_{1}=\frac{m\,R\,T}{V_{1}}.
Substituindo,
P_{1}=\frac{0,1\cdot0,4615\cdot313{,}15}{3} =\frac{14{,}45}{3} \approx4{,}82\\ \mathrm{kPa}.

Passo 3

A 40^\circ\mathrm{C} a água começa a condensar em
P_{2}=P_{\mathrm{sat}}(40^\circ\mathrm{C})\approx7{,}38\\ \mathrm{kPa}.
O volume em que a condensação inicia é
V_{\mathrm{sat}} =\frac{m\,R\,T}{P_{2}} =\frac{14{,}45}{7{,}38} \approx1{,}96\\ \mathrm{m}^{3}.
No fim do processo a qualidade é x_{2}=0{,}25, e o volume do vapor saturado é
v_{g}=\frac{R\,T}{P_{2}} \approx\frac{0{,}4615\cdot313{,}15}{7{,}38}\approx19{,}57\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg},
o volume de líquido saturado v_{f}\approx0{,}001\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg} é desprezível, logo o volume final da mistura é
V_{2} =m\bigl(x_{2}\,v_{g}+(1-x_{2})\,v_{f}\bigr) \approx0{,}1\bigl(0{,}25\cdot19{,}57+0{,}75\cdot0{,}001\bigr) \approx0{,}49\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 4

O trabalho na etapa de vapor superaquecido (de V_{1} até V_{\mathrm{sat}}) é
W_{1} =\int_{V_{1}}^{V_{\mathrm{sat}}}P\,dV =m\,R\,T\ln\frac{V_{\mathrm{sat}}}{V_{1}} =14{,}45\ln\frac{1{,}96}{3} \approx14{,}45\cdot(-0{,}4265) \approx-6{,}16\\ \mathrm{kJ}.

Passo 5

O trabalho na etapa de mistura bifásica (de V_{\mathrm{sat}} até V_{2}) a pressão constante P_{2} é
W_{2} =P_{2}\,(V_{2}-V_{\mathrm{sat}}) =7{,}38\,(0{,}49-1{,}96) \approx7{,}38\cdot(-1{,}47) \approx-10{,}84\\ \mathrm{kJ}.

Passo 6

O trabalho total do sistema (negativo indica trabalho feito sobre o sistema) é
W_{\mathrm{tot}} =W_{1}+W_{2} \approx-6{,}16+(-10{,}84) =-17{,}00\\ \mathrm{kJ}.
Em base por quilograma de água:
\frac{W_{\mathrm{tot}}}{m} \approx\frac{-17{,}00}{0{,}1} =-170{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}.

Resposta

P_{1}\approx4{,}82\\ \mathrm{kPa}
P_{2}\approx7{,}38\\ \mathrm{kPa}
W_{\mathrm{tot}}\approx-17{,}0\\ \mathrm{kJ} (isto é, 17{,}0\\ \mathrm{kJ} de trabalho realizado sobre o sistema)
\displaystyle W_{\mathrm{tot}}/m\approx-170{,}0\\ \mathrm{kJ/kg} (ou 170{,}0\\ \mathrm{kJ/kg} requerido)

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