Um canal retangular, suficientemente longo, de 1,0 \mathrm{~m} de largura, \mathrm{I}_{0}=0,001 \mathrm{~m} / \mathrm{m} . \mathrm{n}=0,015, transporta em regime permanente e uniforme uma certa vazão, com uma altura d’água igual a 0,5 \mathrm{~m}. Em uma determinada seção necessita-se de um altura d’água igual a 0,8 \mathrm{~m} e para isso instalou-se um vertedor retangular de parede delgada, com largura igual à largura do canal. Determine:
a) A vazão transportada
b) A altura p da soleira do vertedor
c) Trace o perfil de água no canal

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento permanente e uniforme em um canal retangular de largura b=1{,}0\;\mathrm{m}, declividade do fundo I_0=0{,}001, rugosidade de Manning n=0{,}015 e profundidade normal y_1=0{,}5\;\mathrm{m}. Mais à frente foi instalado um vertedor de parede delgada, também de largura L=b, de modo que a jusante do vertedor a profundidade se eleva para y_2=0{,}8\;\mathrm{m}. Precisamos encontrar:
a) A vazão Q.
b) A elevação p da soleira do vertedor em relação ao fundo do canal.
c) O tipo de perfil de água e seu esboço ao longo do trecho.
Conteúdo usado: fórmula de Manning para escoamento uniforme, fórmula de vertedor retangular delgado e classificação de perfis de escoamento gradual.

Passo 2

Aplicamos a fórmula de Manning para determinar Q. A seção é retangular com área
A = b\,y_1 = 1{,}0\cdot0{,}5 = 0{,}5\;\mathrm{m^2},
o perímetro molhado
P = b + 2\,y_1 = 1{,}0 + 2\cdot0{,}5 = 2{,}0\;\mathrm{m},
o raio hidráulico
R = \frac{A}{P} = \frac{0{,}5}{2{,}0} = 0{,}25\;\mathrm{m}.
Logo,
Q = \frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,I_0^{1/2} = \frac{1}{0{,}015}\times0{,}5\times(0{,}25)^{2/3}\times(0{,}001)^{1/2}.
Calculando numericamente, obtemos
Q \approx 0{,}418\;\mathrm{m^3/s}.

Passo 3

Para que a profundidade na jusante do vertedor seja y_2=0{,}8\;\mathrm{m}, a diferença de carga sobre a soleira deve produzir essa elevação. No vertedor delgado retangular vale
Q = \frac{2}{3}\,L\sqrt{2g}\,H^{3/2},
onde H = y_2 - p é o “espelho” de água sobre a crista. Substituindo L=1\;\mathrm{m}, g=9{,}81\;\mathrm{m/s^2} e isolando H, temos
H = \biggl(\frac{3\,Q}{2\,L\sqrt{2g}}\biggr)^{2/3} \quad\Longrightarrow\quad H \approx 0{,}272\;\mathrm{m}.
Portanto, a elevação da soleira em relação ao fundo satisfaz
p = y_2 - H = 0{,}8 - 0{,}272 = 0{,}528\;\mathrm{m}.

Passo 4

Para classificar o perfil de água, comparamos profundidade crítica
y_c = \Bigl(\frac{Q^2}{g\,b^2}\Bigr)^{1/3} \approx \bigl(\tfrac{0{,}418^2}{9{,}81\cdot1^2}\bigr)^{1/3} \approx 0{,}26\;\mathrm{m}
e profundidade normal y_n=y_1=0{,}5\;\mathrm{m}. Como a profundidade no vertedor y_2=0{,}8 satisfaz
y_2>y_n>y_c,
trata-se de um perfil do tipo M1 (escoamento subcrítico em leito de declividade branda), no qual a superfície livre sobe lentamente de y_n até y_2. O esboço mostra o canal com declive positivo, a linha de fundo, a linha “normal” em y=0{,}5, e o traçado da superfície livre que atinge y=0{,}8 na crista do vertedor.

Resposta

a) Q \approx 0{,}418\;\mathrm{m^3/s}.
b) p \approx 0{,}528\;\mathrm{m} (altura da soleira acima do fundo).
c) Perfil M1: superfície livre sobe gradualmente de y_n=0{,}5\;\mathrm{m} até y_2=0{,}8\;\mathrm{m} no vertedor.

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