Um canal retangular com 3,0 m de largura, rugosidade n= 0,014 e declividade de fundo I0=0,0008 m / m transporta, em regime permanente e uniforme, uma vazão de 6,0 m^3 / s. Em determinada seção, a largura é reduzida suavemente para 2,40 m, assim, qual a altura dágua nesta seção? Desprezar as perdas na transição.

Passo 1

Beleza, vamos lá. A questão diz que temos um canal retangular em escoamento uniforme e permanente, largura inicial b1=3,0,m, rugosidade de Manning n=0,014, declividade do fundo I0=0,0008 e vazão Q=6,0,m³/s. Numa seção a jusante a largura cai para b2=2,40,m e querem saber qual é a profundidade de água y2 ali (desprezando perdas de transição).
Conteúdo da matéria: escoamento uniforme em canal aberto (equação de Manning).
O que vamos precisar:
  • Equação de Manning: Q=dfrac1n,A,R^2/3,raizI0.
  • Definir área molhada A=b,y, perímetro molhado P=b+2y e raio hidráulico R=A/P.
  • Resolver essa equação para y2, por tentativa (método de palpites).

Passo 2

Escrevendo a equação de Manning para a seção mais estreita ( b2=2,40,m):
  1. Área molhada A2 = b2,y2
    2) Perímetro molhado
    P2 = b2 + 2,y2
  2. Raio hidráulico R2 = A2P2 = b2,y2,b2+2y2,,
    4) Equação de Manning
    Q ;=;1n;A2;R2^2/3;raizI0,,ou seja 6,0 ;=;10,014;l(2,40,y2r);l(2,40,y22,40+2y2r)^2/3;raiz0,0008,

Passo 3

Vamos simplificar a constante que aparece na frente:
K = 1n,raizI0 = 10,014,raiz0,0008 approx 71,43;times0,02828 approx2,02,
Logo a equação vira
6,0 ;=;2,02;l(2,40,y2r);l(tfrac2,40,y22,40+2y2r)^2/3,
Ou ainda
f(y2);=;2,02cdot2,40,y2;l(tfrac2,40,y22,40+2y2r)^2/3-6,0 = 0,

Passo 4

Agora é tentativa e erro (palpites) até achar y2 que zere f(y2):
  • Chute y2=1,0,m:
    A₂=2,4·1,0=2,4; P₂=2,4+2·1=4,4; R₂=2,4/4,4=0,545;
    Q_calc=2,02·2,4·(0,545)^{2/3}≈4,3 (baixo).
  • Chute y2=2,0,m:
    A₂=4,8; P₂=6,4; R₂=0,75;
    Q_calc=2,02·4,8·(0,75)^{2/3}≈8,0 (alto).
  • Chute intermediário y2=1,6,m:
    A₂=2,4·1,6=3,84; P₂=2,4+3,2=5,6; R₂=3,84/5,6=0,6857;
    Q_calc=2,02·3,84·(0,6857)^{2/3}≈6,04 (bem próximo de 6,0).
  • Ajuste fino: y2approx1,59,m dá Q_calc≈5,99, que é praticamente 6,0.

Resposta

A profundidade de água na seção estreita é cerca de
boxedy2 approx 1,59 m

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