3^{\mathrm{a}} Questão (20) O campo de velocidades de um escoamento é dado por \mathbf{V}=K(x \mathbf{i}-y \mathbf{j}), sendo K uma constante positiva. (a) O escoamento é permanente? Por quê? (b) O escoamento é incompressível? Por quê? (c) Sendo o caso, determine a função corrente \psi(x, y). (d) Em seguida, esboce as linhas de corrente e dê uma possível interpretação para o escoamento.

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidades bidimensional
\mathbf{V}(x,y)=K\bigl(x\,\mathbf{i}-y\,\mathbf{j}\bigr),
com K>0 constante, e pede:
(a) verificar se o escoamento é permanente;
(b) verificar se é incompressível;
(c) encontrar a função corrente \psi(x,y);
(d) esboçar as linhas de corrente e interpretar o escoamento.
Vamos usar conceitos de escoamento permanente, divergência e função corrente em 2D.

Passo 2

Um escoamento é permanente se \mathbf{V} não depende explicitamente do tempo t. Aqui \mathbf{V} só depende de x e y, logo é permanente.

Passo 3

Para ser incompressível precisamos de
\nabla\!\cdot\mathbf{V} =\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y} =0.
Como u=Kx e v=-Ky,
\frac{\partial (Kx)}{\partial x}+\frac{\partial(-Ky)}{\partial y} =K - K = 0.
Portanto o escoamento é incompressível.

Passo 4

Em 2D podemos definir \psi por
u=\frac{\partial \psi}{\partial y}, \quad v=-\frac{\partial \psi}{\partial x}.
Substituindo u=Kx em \partial\psi/\partial y=Kx e integrando em y:
\psi(x,y)=K\,x\,y + f(x).
Como
v=-\frac{\partial \psi}{\partial x} = -\bigl(Ky + f'(x)\bigr)
deve ser -Ky, obtemos f'(x)=0. Escolhendo a constante zero,
\psi(x,y)=K\,x\,y.

Passo 5

As linhas de corrente são dadas por \psi= constante, ou seja
K\,x\,y = C \quad\Longleftrightarrow\quad x\,y = \frac{C}{K},
que são hipérboles nos quatro quadrantes.
Fisicamente trata-se de um escoamento de ponto de estagnação planar: o fluido é acelerado para fora ao longo do eixo x (expansão) e converge ao longo do eixo y (contração).

Resposta

(a) Sim. Não há dependência em t.
(b) Sim. \nabla\cdot\mathbf{V}=K-K=0.
(c) \displaystyle \psi(x,y)=K\,x\,y.
(d) Linhas de corrente x\,y= constante (hipérboles). É um escoamento de ponto de estagnação planar, com expansão em x e contração em y.

Exercícios relacionados