Um canal de seção trapezoidal deve transportar 24 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Se o declive \mathrm{i}=0,000144, \mathrm{n}=0,015, largura da base b= 6 metros e as inclinações são 1 vertical para 1,5 horizontal, determine a profundidade normal ( Y ). \mathbf{R}: \mathbf{y = 2 , 3 4} \mathbf{~ m}.

Passo 1

O enunciado pede a profundidade normal Y de um canal trapezoidal em escoamento uniforme, usando a fórmula de Manning. Temos:
Q = 24 ,\mathrm{m^3/s}, declive i = 0,000144, rugosidade n = 0,015, largura da base b = 6\,\mathrm{m} e cotas laterais de 1 vertical : 1,5 horizontal (logo m = 1,5).

Passo 2

Em escoamento uniforme aplicamos a fórmula de Manning:
Q \;=\;\frac{1}{n}\;A\;R^{2/3}\;\sqrt{i}
onde A é a área da seção molhada e R = A/P o raio hidráulico ( P = perímetro molhado).

Passo 3

Expressamos A e P em função de y:
A(y) = \bigl(b + 2\,m\,y\bigr)\,y \quad,\quad P(y) = b \;+\; 2\,y\,\sqrt{1 + m^2}
Logo
R(y) = \frac{A(y)}{P(y)}
com m = 1{,}5.

Passo 4

Substituindo em Manning e isolando todos os termos como função de y, obtemos
f(y)\;=\;\frac{1}{0{,}015}\;A(y)\;\bigl[R(y)\bigr]^{2/3}\;\sqrt{0{,}000144}\;-\;24 = 0
Para simplificar o cálculo numérico, nota-se que
\frac{1}{0{,}015}\,\sqrt{0{,}000144} \;=\; 66{,}667\times0{,}012 \;=\;0{,}8
então
Q(y)=0{,}8\;A(y)\;\bigl[R(y)\bigr]^{2/3} \quad\text{deve ser igual a }24\,.

Passo 5

Usamos tentativa e erro (método das interpolação linear) para achar y:
– Para y=1{,}50:
A=15{,}75,\\ P=11{,}406,\\ R=1{,}381,\\ R^{2/3}=1{,}240,\;Q\approx0{,}8\cdot15{,}75\cdot1{,}240=15{,}6
(abaixo de 24)
– Para y=2{,}00:
A=24,\\ P=13{,}208,\\ R=1{,}817,\\ R^{2/3}=1{,}490,\;Q\approx0{,}8\cdot24\cdot1{,}490=28{,}6
(acima de 24)
– Refinando entre 1{,}50 e 2{,}00, testamos
y=1{,}85 \Rightarrow Q\approx24{,}24 e
y=1{,}84 \Rightarrow Q\approx23{,}92.
Interpolando, chegamos a
y\approx1{,}84\;\mathrm{m}
como profundidade que faz Q(y)=24.

Resposta

\;y\approx1{,}84\;\mathrm{m}

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