Um canal está para ser escavado em terra (n = 0,018). A seção transversal será de um trapézio com profundidade de 1,8 m. É preciso saber se a água que por ele irá trafegar não transbordará, ou seja, qual a altura entre a lâmina de água e a parte superior da margem do canal. Considere a velocidade de 2,8 m/s, o talude 0,75, a base 5 m e a declividade longitudinal 0,002 m/m. Qual a altura entre a lâmina de água e a parte superior da margem do canal?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo e qual matéria estamos lidando. O problema trata do dimensionamento de um canal trapezoidal para garantir que a água que passa por ele não transborde. Isso envolve conceitos de hidráulica, especificamente noções sobre canais abertos e o uso da fórmula de Manning para calcular a velocidade e a capacidade do canal. Para resolver, vamos precisar entender a geometria do canal, utilizar a fórmula de Manning e calcular a altura de segurança (freeboard) entre a água e a parte superior do canal.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a seção transversal do canal. Ele é trapezoidal, o que significa que tem uma base larga e duas laterais inclinadas chamadas de taludes. As informações dadas são:
- Profundidade do canal (y_total): 1,8 m
- Base do canal (b): 5 m
- Talude (z): 0,75 (a razão entre a horizontal e a vertical)
- Declividade longitudinal (S): 0,002 m/m
- Coeficiente de rugosidade de Manning (n): 0,018
- Velocidade da água (V): 2,8 m/s
Nosso objetivo é encontrar a altura entre a lâmina de água e a parte superior da margem do canal, ou seja, o freeboard.
Passo 3
Vamos começar calculando a área da seção transversal da água no canal. Para isso, precisamos saber a profundidade da água (y) dentro do canal. A profundidade total do canal é de 1,8 m, mas ainda não sabemos qual parte está submersa com água.
No entanto, como queremos garantir que a água não transborde, vamos assumir que a água pode atingir até uma certa altura abaixo da parte superior do canal. Nosso objetivo é encontrar essa altura de segurança.
Passo 4
Vamos utilizar a fórmula de Manning para relacionar a velocidade da água, a geometria do canal e a declividade. A fórmula de Manning é:
Onde:
- $ V $ é a velocidade da água (2,8 m/s)
- $ n $ é o coeficiente de rugosidade (0,018)
- $ R $ é o raio hidráulico
- $ S $ é a declividade longitudinal (0,002 m/m)
Nosso objetivo é encontrar o raio hidráulico $ R
A
P $):
Passo 5
Para calcular $ R $, precisamos primeiro determinar a área $ A $ e o perímetro molhado $ P $ da seção transversal da água.
Vamos supor que a altura da água seja $ y $. A base do canal é 5 m, e os taludes têm uma inclinação de 0,75, o que significa que para cada 1 m de altura, a largura aumenta 0,75 m em cada lado.
Então, a largura total da água na superfície será:
A área $ A $ da seção transversal será:
O perímetro molhado $ P $ é:
Como os taludes são inclinados, a hipotenusa de cada lado do trapézio é:
Então,
Passo 6
Agora, substituímos $ A $ e $ P $ na fórmula do raio hidráulico $ R $:
Passo 7
Voltando à fórmula de Manning:
Queremos isolar $ R $:
Elevando ambos os lados à potência de $ 3/2 $:
Substituindo os valores conhecidos:
Calculando passo a passo:
Primeiro, calculamos $ S^{-1/2} $:
Agora,
Elevando à potência de $ 3/2 $:
Passo 8
Sabemos que:
Agora, substituímos $ y $ na equação e resolvemos para encontrar a profundidade da água.
Vamos reescrever a equação:
Multiplicando ambos os lados por $ 5 + 2,5y $:
Expandindo:
Reorganizando os termos:
Simplificando:
Passo 9
Agora, temos uma equação quadrática na forma:
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Onde:
- $ a = 1,5 $
- $ b = 2,015 $
- $ c = -5,97 $
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
Calculando as raízes:
Como a profundidade não pode ser negativa, descartamos a solução negativa:
Passo 10
Agora que encontramos a profundidade da água ($ y \approx 1,4316 $ m), podemos calcular o freeboard, que é a diferença entre a profundidade total do canal e a profundidade da água:
Resposta
A altura entre a lâmina de água e a parte superior da margem do canal é aproximadamente 0,368 metros.