Qual deve ser a largura de um canal retangular projetado para transportar uma vazão de 20 m^3 / s, com uma profundidade de escoamento de 2,2 m e inclinação longitudinal de 0,0005 m / m ? Considere um coeficiente de rugosidade n=0,013.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de hidráulica! A gente precisa descobrir qual deve ser a largura de um canal retangular para transportar uma vazão de 20 , m^3/s. Sabemos que a profundidade do escoamento é de 2,2 metros, a inclinação longitudinal do canal é de 0,0005 , m/m e o coeficiente de rugosidade é n = 0,013. Para isso, vamos usar a Equação de Manning, que é uma ferramenta super útil na engenharia para calcular vazões em canais abertos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Equação de Manning. Ela serve para calcular a vazão ( Q) em canais abertos e é dada por:
Q = 1n times A times R^2/3 times S^1/2
Aqui:
  • Q é a vazão,
  • n é o coeficiente de rugosidade,
  • A é a área da seção transversal do fluxo,
  • R é o raio hidráulico, que é a relação entre a área ( A) e o perímetro molhado ( P),
  • S é a inclinação longitudinal do canal.

Passo 3

Como nosso canal é retangular, a área ( A) e o perímetro molhado ( P) têm fórmulas simples:
A = b times y
P = b + 2y
Onde:
  • b é a largura do canal que queremos encontrar,
  • y é a profundidade do escoamento, que é 2,2 metros.
Então, o raio hidráulico ( R) fica:
R = AP = b times yb + 2y

Passo 4

Agora, vamos substituir as expressões de A e R na Equação de Manning:
Q = 1n times b times y times ( b times yb + 2y )^2/3 times S^1/2
Queremos encontrar b, então precisamos rearranjar essa equação para isolar b.

Passo 5

Vamos organizar a equação:
20 = 10,013 times b times 2,2 times ( b times 2,2b + 4,4 )^2/3 times raiz0,0005
Isso fica meio complicado para resolver diretamente, então vamos simplificar passo a passo.

Passo 6

Primeiro, vamos calcular raiz0,0005:
raiz0,0005 approx 0,02236
Agora, a equação fica:
20 = 10,013 times b times 2,2 times ( 2,2bb + 4,4 )^2/3 times 0,02236

Passo 7

Vamos calcular os constantes multiplicativas:
10,013 approx 76,9231
76,9231 times 2,2 times 0,02236 approx 3,8
Então:
20 = 3,8 times b times ( 2,2bb + 4,4 )^2/3

Passo 8

Agora, dividimos ambos os lados por 3,8:
203,8 approx 5,263 = b times ( 2,2bb + 4,4 )^2/3

Passo 9

Vamos elevar ambos os lados à potência de 3/2 para eliminar o expoente 2/3:
(5,263)^3/2 approx 12,07 = b^3/2 times 2,2bb + 4,4

Passo 10

Agora temos uma equação não linear. Para resolver isso de forma simplificada, podemos utilizar métodos numéricos ou uma aproximação. Vamos tentar uma aproximação inicial.
Suponha que o termo b + 4,4 seja aproximadamente igual a b, se b for muito maior que 4,4. Isso nos dá uma estimativa inicial:
12,07 approx b^3/2 times 2,2bb = b^3/2 times 2,2
b^3/2 approx 12,072,2 approx 5,49
b approx (5,49)^2/3 approx 3,29 , m

Passo 11

Vamos verificar se nossa suposição b + 4,4 approx b é válida. Com b approx 3,29, temos:
b + 4,4 = 3,29 + 4,4 = 7,69 , m
Então, a suposição não é muito precisa. Precisamos refinar nossa estimativa.

Passo 12

Vamos usar a estimativa inicial b approx 3,29 e recalcular:
12,07 = 3,29^3/2 times 2,2 times 3,293,29 + 4,4 approx 5,95 times 7,2387,69 approx 5,95 times 0,941 approx 5,6
Ainda não chega perto de 12,07. Precisamos aumentar b.

Passo 13

Vamos tentar b = 6 , m:
b^3/2 = 6^3/2 approx 14,7
2,2 times 66 + 4,4 = 13,210,4 approx 1,27
14,7 times 1,27 approx 18,7
Ainda menor que 12,07. Parece que precisamos ajustar mais.

Passo 14

Tentemos b = 4 , m:
b^3/2 = 4^3/2 = 8
2,2 times 44 + 4,4 = 8,88,4 approx 1,05
8 times 1,05 = 8,4
Ainda menor. Vamos aumentar mais.

Passo 15

Vamos tentar b = 5 , m:
b^3/2 = 5^3/2 approx 11,18
2,2 times 55 + 4,4 = 119,4 approx 1,17
11,18 times 1,17 approx 13,09
Agora, chegamos perto de 12,07. Vamos ajustar um pouco.

Passo 16

Intermediando, tentemos b = 4,8 , m:
b^3/2 approx 4,8^1,5 approx 10,49
2,2 times 4,84,8 + 4,4 = 10,569,2 approx 1,15
10,49 times 1,15 approx 12,06
Quase lá!

Resposta

A largura necessária do canal retangular é aproximadamente 4,8 metros.

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