Qual deve ser a largura de um canal retangular projetado para transportar uma vazão de
, com uma profundidade de escoamento de 2,2 m e inclinação longitudinal de
? Considere um coeficiente de rugosidade
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de hidráulica! A gente precisa descobrir qual deve ser a largura de um canal retangular para transportar uma vazão de
. Sabemos que a profundidade do escoamento é de 2,2 metros, a inclinação longitudinal do canal é de
e o coeficiente de rugosidade é
. Para isso, vamos usar a Equação de Manning, que é uma ferramenta super útil na engenharia para calcular vazões em canais abertos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Equação de Manning. Ela serve para calcular a vazão (
) em canais abertos e é dada por:
Aqui:
-
é a vazão, -
é o coeficiente de rugosidade, -
é a área da seção transversal do fluxo, -
é o raio hidráulico, que é a relação entre a área ( ) e o perímetro molhado ( ), -
é a inclinação longitudinal do canal.
Passo 3
Como nosso canal é retangular, a área (
) e o perímetro molhado (
) têm fórmulas simples:
Onde:
-
é a largura do canal que queremos encontrar, -
é a profundidade do escoamento, que é 2,2 metros.
Então, o raio hidráulico (
) fica:
Passo 4
Agora, vamos substituir as expressões de
e
na Equação de Manning:
Queremos encontrar
, então precisamos rearranjar essa equação para isolar
.
Passo 5
Vamos organizar a equação:
Isso fica meio complicado para resolver diretamente, então vamos simplificar passo a passo.
Passo 6
Primeiro, vamos calcular
:
Agora, a equação fica:
Passo 7
Vamos calcular os constantes multiplicativas:
Então:
Passo 8
Agora, dividimos ambos os lados por 3,8:
Passo 9
Vamos elevar ambos os lados à potência de
para eliminar o expoente
:
Passo 10
Agora temos uma equação não linear. Para resolver isso de forma simplificada, podemos utilizar métodos numéricos ou uma aproximação. Vamos tentar uma aproximação inicial.
Suponha que o termo
seja aproximadamente igual a
, se
for muito maior que 4,4. Isso nos dá uma estimativa inicial:
Passo 11
Vamos verificar se nossa suposição
é válida. Com
, temos:
Então, a suposição não é muito precisa. Precisamos refinar nossa estimativa.
Passo 12
Vamos usar a estimativa inicial
e recalcular:
Ainda não chega perto de 12,07. Precisamos aumentar
.
Passo 13
Vamos tentar
:
Ainda menor que 12,07. Parece que precisamos ajustar mais.
Passo 14
Tentemos
:
Ainda menor. Vamos aumentar mais.
Passo 15
Vamos tentar
:
Agora, chegamos perto de 12,07. Vamos ajustar um pouco.
Passo 16
Intermediando, tentemos
:
Quase lá!
Resposta
A largura necessária do canal retangular é aproximadamente 4,8 metros.