Um canal trapezoidal com largura de base igual a 3 m taludes laterais de 1: 1 transporta 15 m3 / s. Calcule a profundidade do escoamento sabendo-se que n=0,0135 e I=0,005 m / m. (Valor inicial a altura y=0,90 duas casas decimais realizar no mínimo 4 interações).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de hidráulica que envolve calcular a profundidade do escoamento em um canal trapezoidal. A gente vai usar a Equação de Manning, que é bem útil para determinar a vazão em canais abertos. Precisamos dos seguintes dados:
  • Largura da base do canal: 3 metros
  • Taludes laterais de 1:1 (ou seja, para cada 1 metro horizontal, sobe 1 metro vertical)
  • Vazão (Q): 15 m³/s
  • Coeficiente de Manning (n): 0,0135
  • Inclinação do canal (I): 0,005 m/m
  • A profundidade inicial (y) para começar a calcular: 0,90 metros
Vamos precisar iterar esse cálculo pelo menos 4 vezes para ajustar a profundidade do escoamento até chegarmos numa resposta precisa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Equação de Manning para canais:
Q = 1n A R^2/3 I^1/2
Onde:
  • $ Q $ é a vazão (15 m³/s)
  • $ n $ é o coeficiente de Manning (0,0135)
  • $ A $ é a área da seção transversal do fluxo
  • $ R $ é o raio hidráulico ($ \frac{A}{P} $, sendo $ P $ o perímetro molhado)
  • $ I $ é a inclinação do canal (0,005 m/m)
Vamos começar com a profundidade inicial $ y = 0,90 $ metros.

Passo 3

Iteração 1: y = 0,90 m
  1. Área da seção transversal (A):
A = (b + z y) y
Onde:
  • $ b $ é a largura da base (3 m)
  • $ z $ é a inclinação dos taludes laterais (1:1, então $ z = 1 $)
b ²
  1. Perímetro molhado §:
z
Para $ z = 1 $:
z = 1
  1. Raio hidráulico ®:
A = (3 + 1 times 0,90) times 0,90 = (3 + 0,90) times 0,90 = 3,90 times 0,90 = 3,51 , m²
  1. Aplicando a Equação de Manning:
P = b + 2 y raiz1 + z^2
Calculando passo a passo:
z = 1
P = 3 + 2 times 0,90 times raiz1 + 1 = 3 + 1,80 times 1,4142 approx 3 + 2,55 = 5,55 , m
R = AP = 3,515,55 approx 0,633 , m
Q = 10,0135 times 3,51 times (0,633)^2/3 times (0,005)^1/2 ³
Como $ Q_{calculado} = 13,55 $ m³/s é menor que os 15 m³/s desejados, precisamos aumentar a profundidade.

Passo 4

Iteração 2: y = 1,00 m
  1. Área da seção transversal (A):
A = (3 + 1 times 1,00) times 1,00 = 4 times 1,00 = 4,00 , m² ²
  1. Perímetro molhado §:
P = 3 + 2 times 1,00 times 1,4142 approx 3 + 2,83 = 5,83 , m
  1. Raio hidráulico ®:
R = 4,005,83 approx 0,686 , m
  1. Aplicando a Equação de Manning:
Q = 10,0135 times 4,00 times (0,686)^2/3 times (0,005)^1/2
Calculando:
(0,686)^2/3 approx 0,686^0,6667 approx 0,773
(0,005)^1/2 approx 0,0707
Q approx 74,07 times 4,00 times 0,773 times 0,0707 approx 74,07 times 0,218 approx 16,13 , m³/s ³
Agora, $ Q_{calculado} = 16,13 $ m³/s está acima dos 15 m³/s. Vamos ajustar a profundidade entre 0,90 m e 1,00 m.

Passo 5

Iteração 3: y = 0,95 m
  1. Área da seção transversal (A):
A = (3 + 1 times 0,95) times 0,95 = 3,95 times 0,95 = 3,7525 , m² ²
  1. Perímetro molhado §:
P = 3 + 2 times 0,95 times 1,4142 approx 3 + 2,69 = 5,69 , m
  1. Raio hidráulico ®:
R = 3,75255,69 approx 0,659 , m
  1. Aplicando a Equação de Manning:
Q = 10,0135 times 3,7525 times (0,659)^2/3 times (0,005)^1/2
Calculando:
(0,659)^2/3 approx 0,659^0,6667 approx 0,731
(0,005)^1/2 approx 0,0707
Q approx 74,07 times 3,7525 times 0,731 times 0,0707 approx 74,07 times 0,194 approx 14,35 , m³/s ³
$ Q_{calculado} = 14,35 $ m³/s está abaixo dos 15 m³/s. Vamos fazer mais uma iteração.

Passo 6

Iteração 4: y = 0,96 m
  1. Área da seção transversal (A):
A = (3 + 1 times 0,96) times 0,96 = 3,96 times 0,96 = 3,8016 , m² ²
  1. Perímetro molhado §:
P = 3 + 2 times 0,96 times 1,4142 approx 3 + 2,72 = 5,72 , m
  1. Raio hidráulico ®:
R = 3,80165,72 approx 0,665 , m
  1. Aplicando a Equação de Manning:
Q = 10,0135 times 3,8016 times (0,665)^2/3 times (0,005)^1/2
Calculando:
(0,665)^2/3 approx 0,665^0,6667 approx 0,743
(0,005)^1/2 approx 0,0707
Q approx 74,07 times 3,8016 times 0,743 times 0,0707 approx 74,07 times 0,200 approx 14,81 , m³/s ³
Ainda está um pouco abaixo. Vamos ajustar para y = 0,97 m na próxima iteração.

Passo 7

Iteração 5: y = 0,97 m
  1. Área da seção transversal (A):
A = (3 + 1 times 0,97) times 0,97 = 3,97 times 0,97 = 3,8509 , m² ²
  1. Perímetro molhado §:
P = 3 + 2 times 0,97 times 1,4142 approx 3 + 2,75 = 5,75 , m
  1. Raio hidráulico ®:
R = 3,85095,75 approx 0,669 , m
  1. Aplicando a Equação de Manning:
Q = 10,0135 times 3,8509 times (0,669)^2/3 times (0,005)^1/2
Calculando:
(0,669)^2/3 approx 0,669^0,6667 approx 0,749
(0,005)^1/2 approx 0,0707
Q approx 74,07 times 3,8509 times 0,749 times 0,0707 approx 74,07 times 0,204 approx 15,11 , m³/s ³
Agora, $ Q_{calculado} = 15,11 $ m³/s está bem próximo dos 15 m³/s desejados. Podemos considerar que a profundidade do escoamento é aproximadamente 0,97 metros.

Resposta

A profundidade do escoamento é aproximadamente 0,97 metros.

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