A equaçăo de estado de van der Waals
P=g(V, J)=R TV-b-aV^2
foi a primeira equação de estado que conseguiu representar melhor certas propriedades do comportamento dos fluidos e, em particular, do estado gasoso.
Determine (partial Ppartial V)T,(partial Ppartial T)V e (partial^2 Ppartial V^2)T.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Temos a equação de estado de Van der Waals, que é usada para descrever o comportamento de gases reais. O conteúdo envolve cálculo de derivadas parciais dessa equação em relação ao volume e à temperatura . Para resolver, vamos precisar aplicar regras de derivação e entender como manipular expressões algébricas.

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de P = R TV - b - aV^2 em relação a mantendo a temperatura constante, ou seja, .
A equação de Van der Waals é:
Vamos derivar cada termo em relação a .

Passo 3

Derivando o primeiro termo ddV ( R TV - b ) = -R T(V - b)^2 em relação a :

Passo 4

Derivando o segundo termo ddV ( -aV^2 ) = 2aV^3 em relação a :

Passo 5

Agora, somamos as derivadas dos dois termos para obter (partial Ppartial V)T = -R T(V - b)^2 + 2aV^3 :

Passo 6

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de P = R TV - b - aV^2 em relação a mantendo constante, ou seja, .
Usando a mesma equação:
Derivando em relação a :

Passo 7

Derivando ddT ( R TV - b ) = RV - b em relação a :
E o segundo termo não depende de , então sua derivada é zero.

Passo 8

Portanto, temos:
(partial Ppartial T)V = RV - b

Passo 9

Por fim, vamos calcular a segunda derivada parcial de (partial Ppartial V)T = -R T(V - b)^2 + 2aV^3 em relação a mantendo constante, ou seja, .
Já tínhamos a primeira derivada:
Agora, vamos derivar novamente em relação a :

Passo 10

Derivando ddV ( -R T(V - b)^2 ) = 2 R T(V - b)^3 em relação a ddV ( 2aV^3 ) = -6aV^4 :
Derivando em relação a :

Resposta

Portanto, as derivadas solicitadas são:
(partial Ppartial V)T = -R T(V - b)^2 + 2aV^3,
(partial Ppartial T)V = RV - b,
e
(partial^2 Ppartial V^2)T = 2 R T(V - b)^3 - 6aV^4

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