A equaçăo de estado de van der Waals
foi a primeira equação de estado que conseguiu representar melhor certas propriedades do comportamento dos fluidos e, em particular, do estado gasoso.
Determine
e
.
Determine
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Temos a equação de estado de Van der Waals, que é usada para descrever o comportamento de gases reais. O conteúdo envolve cálculo de derivadas parciais dessa equação em relação ao volume
e à temperatura
. Para resolver, vamos precisar aplicar regras de derivação e entender como manipular expressões algébricas.
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de
em relação a
mantendo a temperatura
constante, ou seja,
.
A equação de Van der Waals é:
Vamos derivar cada termo em relação a
.
Passo 3
Derivando o primeiro termo
em relação a
:
Passo 4
Derivando o segundo termo
em relação a
:
Passo 5
Agora, somamos as derivadas dos dois termos para obter
:
Passo 6
Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
mantendo
constante, ou seja,
.
Usando a mesma equação:
Derivando em relação a
:
Passo 7
Derivando
em relação a
:
E o segundo termo
não depende de
, então sua derivada é zero.
Passo 8
Portanto, temos:
Passo 9
Por fim, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
mantendo
constante, ou seja,
.
Já tínhamos a primeira derivada:
Agora, vamos derivar novamente em relação a
:
Passo 10
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Resposta
Portanto, as derivadas solicitadas são:
e