\operatorname{Ar}\left(R=287\right. e \left.C_{p}=1,0 \mathrm{~J} / \mathrm{kg}^{*} \mathrm{~K}\right) escoa em regime permanente através de uma turbina que produz 700 hp de trabalho. A pressão na entrada da turbina é de 1.034 kPa e na saída é de 276 kPa . O diâmetro na entrada e na saída da turbina é de 150 mm . As temperaturas do ar na entrada e na saída da turbina são, respectivamente, 149^{\circ} \mathrm{Ce} 1,7^{\circ} \mathrm{C}. A velocidade na entrada da turbina é 30,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Calcule a velocidade na saída da turbina e o calor transferido em Watts. Obs: 1 \mathrm{hp}=745,7 Watts. Obs2: considere escoamento compressível, ou seja, existe variação na densidade do ar. Obs3: \rho=P / R T, onde T é a temperatura em Kelvin e P é a pressão em pascal.

Passo 1

O enunciado trata de um escoamento de ar em regime permanente através de uma turbina que produz 700\\ \mathrm{hp}. Sabemos as pressões e temperaturas na entrada e saída, o diâmetro do tubo em ambos os pontos e a velocidade na entrada. O objetivo é calcular a velocidade na saída V_2 e a taxa de calor transferido \dot Q em Watts. Para isso vamos usar:
  1. Equação da continuidade para escoamento compressível: \rho_1 A_1 V_1 = \rho_2 A_2 V_2.
  2. Equação de energia em regime permanente (primeira lei para sistema aberto): \dot Q - \dot W = \dot m\bigl[(h_2 + \tfrac{V_2^2}{2}) - (h_1 + \tfrac{V_1^2}{2})\bigr]com h_2 - h_1 = c_p\,(T_2 - T_1).
  3. Lei dos gases ideais para densidade: \rho = \frac{P}{R\,T}.
Vamos converter tudo para unidades S.I. e seguir esses passos.

Passo 2

Converter dados e calcular as densidades na entrada e na saída:
P_1 = 1{,}034\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, T_1 = 149+273{,}15 = 422{,}15\\ \mathrm K
P_2 = 2{,}76\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, T_2 = 1{,}7 +273{,}15 = 274{,}85\\ \mathrm K
– Constantes: R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
– Densidades:
\rho_1 = \frac{P_1}{R\,T_1} = \frac{1{,}034\times10^{5}}{287\cdot422{,}15} \approx 0{,}849\\ \mathrm{kg/m^3},
\rho_2 = \frac{P_2}{R\,T_2} = \frac{2{,}76\times10^{5}}{287\cdot274{,}85} \approx 3{,}495\\ \mathrm{kg/m^3}.
– Área da seção (diâmetro D=0{,}150\\ \mathrm m):
A = \pi\bigl(\tfrac{D}{2}\bigr)^{2} = \pi(0{,}075)^{2} \approx 0{,}01767\\ \mathrm{m^2}.

Passo 3

Calcular a vazão mássica \dot m a partir de \dot m = \rho_1 A V_1, com V_1=30{,}5\\ \mathrm{m/s}:
\dot m = 0{,}849 \times 0{,}01767 \times 30{,}5 \approx 0{,}456\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 4

Usar a equação da continuidade para achar V_2:
V_2 = \frac{\dot m}{\rho_2\,A} = \frac{0{,}456}{3{,}495\times0{,}01767} \approx 7{,}38\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Aplicar a equação de energia:
\dot Q - \dot W = \dot m\Bigl[c_p\,(T_2-T_1) + \tfrac{V_2^2 - V_1^2}{2}\Bigr].
– Converter potência:
\dot W = 700\\ \mathrm{hp}\times745{,}7\\ \tfrac{\mathrm W}{\mathrm{hp}} = 522{,}0\times10^{3}\\ \mathrm W.
– Tomando c_p = 1{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}:
T_2-T_1 = 274{,}85 - 422{,}15 = -147{,}3\\ \mathrm K,
\frac{V_2^2 - V_1^2}{2} = \frac{7{,}38^2 - 30{,}5^2}{2} \approx -437{,}9\\ \mathrm{J/kg}.
Logo o termo entre colchetes vale
c_p\,(T_2-T_1) + \tfrac{V_2^2 - V_1^2}{2} = 1000\cdot(-147{,}3) + (-437{,}9) = -147\,737{,}9\\ \mathrm{J/kg}.
Multiplicando por \dot m:
\dot m\,[\dots] \approx 0{,}456\times(-147\,737{,}9) \approx -67\,376\\ \mathrm{W}.
Finalmente
\dot Q = \dot W + \dot m\,[\dots] = 522\,000 + (-67\,376) \approx 454\,624\\ \mathrm W.

Resposta

Velocidade na saída:
V_2 \approx 7{,}38\\ \mathrm{m/s}.
Taxa de calor transferido:
\dot Q \approx 4{,}55\times10^{5}\\ \mathrm{W}.

Exercícios relacionados