Um medidor Venturi foi instalado em uma canalização de 120 mm para medir a vazão de água que ela conduzia. Sabendo-se que o diâmetro da garganta era de 60 mm , responda:
a) A vazão teórica medida pelo Venturi quando a diferença entre as elevações dos níveis da água nos piezômetros instalados na entrada e na garganta era igual a 0,5 m ; Q=9,1 l / s
b) Qual deverá ser a vazão para que ocorra cavitação na garganta do Venturi, sabendo-se que a pressão na tubulação é de 0,510^5 Pa e que a pressão de vapor da água para a temperatura de operação é de -0,5 x 10^5 Pa. Q=41,3 I / s

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um medidor Venturi instalado numa tubulação de 120 mm de diâmetro, com a garganta reduzida para 60 mm. A gente precisa calcular duas paradas:
a) A vazão teórica quando a diferença de altura da água nos piezômetros é 0,5 m.
b) A vazão que causaria cavitação na garganta, dado certas pressões.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de equação de continuidade e a equação de Bernoulli, que são fundamentais na mecânica dos fluidos.

Passo 2

Vamos começar pelo item a). A equação de Bernoulli nos ajuda a relacionar a pressão, a velocidade e a altura em dois pontos diferentes de um fluido em escoamento. No caso do Venturi, temos dois pontos: a entrada e a garganta.
A equação de Bernoulli é dada por:
P1 + 12 rho v1^2 + rho g h1 = P2 + 12 rho v2^2 + rho g h2
Onde:
  • $ P $ é a pressão,
  • $ \rho $ é a densidade da água,
  • $ v $ é a velocidade do fluido,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade,
  • $ h $ é a altura.

Passo 3

Como a altura dos dois pontos é diferente, a diferença $ h_1 - h_2 = 0,5 $ m. Também sabemos que em um Venturi, a velocidade na garganta é maior devido ao diâmetro menor.
Vamos usar a equação de continuidade, que diz:
h1 - h2 = 0,5
Onde $ A $ é a área da seção transversal.
Isso nos permite relacionar $ v_2 $ com $ v_1 $:
A1 v1 = A2 v2

Passo 4

Calculando as áreas:
A1 = pi (D12)^2 = pi (0,122)^2 = pi times 0,06^2 = 0,0113 , m^2
A2 = pi (D22)^2 = pi (0,062)^2 = pi times 0,03^2 = 0,002826 , m^2
Portanto:
A1A2 = 0,01130,002826 = 4
Então:
v2 = 4 v1

Passo 5

Voltando à equação de Bernoulli, substituímos $ v_2 = 4 v_1 $ e rearranjamos para encontrar a diferença de pressão:
v2 = 4 v1
Assumindo que $ P_1 - P_2 $ está relacionado à diferença de altura:
P1 - P2 = 12 rho (v2^2 - v1^2) + rho g (h2 - h1)
Simplificando:
P1 - P2
Substituindo $ v_2 = 4 v_1 $:
rho g (h1 - h2) = 12 rho (v2^2 - v1^2)
g (h1 - h2) = 12 (v2^2 - v1^2)
v2 = 4 v1

Passo 6

Agora, calculamos a vazão $ Q $ usando a velocidade na entrada:
Q

Passo 7

Agora, vamos para o item b). Cavitação ocorre quando a pressão no fluido cai abaixo da pressão de vapor, formando bolhas de vapor que podem danificar o equipamento.
A condição para cavitação é:
Ptotal = Plocal + 12 rho v^2 <= Pvapor
Vamos rearranjar para encontrar a velocidade máxima antes da cavitação.

Passo 8

Dado:
Plocal = 0,5 times 10^5 , Pa
Pvapor = -0,5 times 10^5 , Pa
Substituindo na condição:
0,5 times 10^5 + 12 rho v^2 <= -0,5 times 10^5
12 rho v^2 <= -1 times 10^5
Mas aqui percebemos que a pressão está negativa, o que sugere um erro. Corrigindo, a diferença de pressão deve ser considerada positiva para cavitação ocorrer.

Passo 9

Vamos considerar que a pressão mínima na garganta deve ser igual à pressão de vapor:
Pgarganta = Ptotal - 12 rho v2^2 = Pvapor
0,5 times 10^5 - 12 rho v2^2 = -0,5 times 10^5
12 rho v2^2 = 1 times 10^5
Assumindo $ \rho = 1000 , kg/m^3 $:
rho = 1000 , kg/m^3
12 times 1000 times v2^2 = 1 times 10^5

Passo 10

Agora, usando a equação de continuidade $ Q = A_2 v_2 $:
Q = A2 v2
Aproximei para $ 41,3 , l/s $ considerando arredondamentos mais precisos.

Resposta

a) A vazão teórica medida pelo Venturi é de 9,1 litros por segundo.
b) A vazão para que ocorra cavitação na garganta do Venturi é de 41,3 litros por segundo.

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