Um candidato a deputado estadual afirma que terá 60 \% dos votos do eleitores de uma cidade. Um instituto de pesquisa colhe uma amostra de 300 eleitores dessa cidade, encontrando 160 que votarão no candidato. Esse resultado mostra que a afirmação do candidato é verdadeira, ao nível de 5 \% ? R: A afirmação do candidato é falsa.

Passo 1

O enunciado apresenta um teste de hipótese para a proporção de votos de um candidato em uma cidade. O candidato afirma que a verdadeira proporção é p=0,6. Uma amostra de tamanho n=300 revelou X=160 votos a favor, ou seja, \hat p = 160/300. Queremos verificar, ao nível de significância \alpha=0,05, se há evidência para aceitar essa afirmação.

Passo 2

Formulamos as hipóteses:
H_0: p = 0,6
H_1: p \neq 0,6
Aqui usamos um teste bicaudal porque questionamos se p difere de 0,6.

Passo 3

Calculamos a proporção amostral \hat p e o valor do estatístico z. Em primeiro lugar,
\hat p = \frac{X}{n} = \frac{160}{300} \approx 0,5333.
Sob H_0, a variância de \hat p é p_0(1-p_0)/n. Logo, o estatístico é
z = \frac{\hat p - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}} = \frac{0,5333 - 0,6}{\sqrt{\frac{0,6 \cdot 0,4}{300}}} \approx -2,36.

Passo 4

Para \alpha=0,05 no teste bicaudal, a região crítica é \{|z|>z_{0,975}\} com z_{0,975}=1,96. Observamos que
|z| \approx 2,36 > 1,96,
ou seja, o valor obtido cai na região de rejeição de H_0.

Passo 5

Como rejeitamos H_0 ao nível de 5\%, conclui-se que não há evidência para sustentar a afirmação de que a proporção verdadeira de votos é 0,6.

Resposta

A afirmação do candidato é falsa.

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