Deseja-se saber qual a proporção de pessoas da população portadoras de determinada doença. Retira-se uma amostra de 400 pessoas, obtendo-se 8 portadores da doença. Definir limites de confiabilidade de 99 \% para a proporção populacional. R: 0,99 e intervalo é P(0,2 \% \leq p \leq 3,8 \%)

Passo 1

O enunciado pede um intervalo de confiança de 99\% para a proporção populacional p de portadores de uma doença, com amostra de tamanho n=400 e 8 portadores. Vamos usar a aproximação normal para a proporção amostral.

Passo 2

Calculamos a proporção amostral
\hat p = \frac{8}{400} = 0,02.
Verificamos as condições da aproximação normal:
\;n\hat p = 8 \ge 5 e n(1-\hat p)=392 \ge 5, logo vale usar o modelo normal.

Passo 3

Para nível de confiança 99\%, \alpha = 1 - 0,99 = 0,01 e \alpha/2 = 0,005. O valor crítico é
z_{0,005} \approx 2,5758.

Passo 4

O erro padrão da proporção é
SE = \sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}} = \sqrt{\frac{0,02 \times 0,98}{400}} = \sqrt{0,000049} = 0,007.
O erro de margem fica
E = z_{0,005}\times SE \approx 2,5758 \times 0,007 \approx 0,018.

Passo 5

O intervalo de confiança de 99\% para p é
\hat p \pm E = 0,02 \pm 0,018,
isto é
0,002 \le p \le 0,038.
Em porcentagem:
0,2\% \le p \le 3,8\%.

Resposta

Nível de confiança: 0,99
Intervalo de confiança: 0,2\%\le p\le3,8\%

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