Uma caneca de café sai da máquina a 90^{\circ} \mathrm{C} e é deixada sobre uma mesa em uma sala a 22^{\circ} \mathrm{C}. Suponha que o resfriamento obedeça à Lei de Resfriamento de Newton, com constante de resfriamento k\left(e m \min ^{-1}\right), isto é: \frac{d T}{d t}=k\left(T-T_{a m b}\right), onde T_{a m b} é a temperatura ambiente (constante).
a) A equação diferencial ordinária acima pode ser classificada como separável e linear? Obtenha a solução geral T(t) em função de T_{a m b}, T(0)=T_{0} e k, utilizando as duas técnicas, se possível.
b) Sabendo que T(8 \mathrm{~min})=60^{\circ} \mathrm{C}, determine k.
c) Em quanto tempo o café atinge 40^{\circ} \mathrm{C} ?
d) Qual é a temperatura do café aos 15 minutos?

Passo 1

O enunciado trata do resfriamento segundo a Lei de Newton, dada pela EDO
\frac{dT}{dt}=k\bigl(T - T_{\text{amb}}\bigr),
onde T_{\text{amb}}=22^\circ\mathrm{C} é constante, T(0)=T_0=90^\circ\mathrm{C} e k é a constante de resfriamento (em \mathrm{min}^{-1}). Vamos primeiro classificar a equação e depois obter a solução geral T(t) usando separação de variáveis e, em seguida, o método de equação linear de primeira ordem.

Passo 2

(Solução por separação de variáveis)
Como a EDO pode ser escrita
\frac{dT}{dt}=k\bigl(T - T_{\text{amb}}\bigr),
separamos variáveis:
\frac{dT}{T - T_{\text{amb}}}=k\,dt.
Integrando dos dois lados,
\int\frac{dT}{T - T_{\text{amb}}}=\int k\,dt \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl|T - T_{\text{amb}}\bigr|=kt + C_1.
Exponentiando e absorvendo o sinal em C,
T - T_{\text{amb}}=C\,e^{kt}.
Usando T(0)=T_0 C=T_0 - T_{\text{amb}}. Logo
\boxed{T(t)=T_{\text{amb}}+\bigl(T_0-T_{\text{amb}}\bigr)e^{kt}}.

Passo 3

(Solução pelo método da equação linear)
Reescrevendo
\frac{dT}{dt}-kT=-k\,T_{\text{amb}},
o fator integrante é \mu(t)=e^{-kt}. Multiplicando tudo por \mu(t):
e^{-kt}\frac{dT}{dt}-k\,e^{-kt}T=-k\,T_{\text{amb}}e^{-kt} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dt}\bigl(T\,e^{-kt}\bigr)=-k\,T_{\text{amb}}e^{-kt}.
Integrando,
T\,e^{-kt}=-k\,T_{\text{amb}}\int e^{-kt}\,dt + C_2 =-T_{\text{amb}}e^{-kt}+C_2,
pois \int e^{-kt}dt= -\tfrac1k e^{-kt}. Multiplicando por e^{kt} e usando T(0)=T_0 resulta na mesma
T(t)=T_{\text{amb}}+(T_0-T_{\text{amb}})\,e^{kt}.

Passo 4

(Determinação de k)
Temos agora
T(t)=22+ (90-22)e^{kt}=22+68\,e^{kt}.
Como T(8)=60,
60=22+68\,e^{8k} \quad\Longrightarrow\quad e^{8k}=\frac{60-22}{68}=\frac{38}{68}=\frac{19}{34}.
Logo
k=\frac{1}{8}\ln\!\Bigl(\tfrac{19}{34}\Bigr)\approx\frac{1}{8}(-0,5810)=-0,0726\\ \mathrm{min}^{-1}.

Passo 5

(Tempo para atingir 40^\circ\mathrm{C})
Queremos t tal que T(t)=40:
40=22+68\,e^{kt} \quad\Longrightarrow\quad e^{kt}=\frac{40-22}{68}=\frac{18}{68}=\frac{9}{34},
t=\frac{1}{k}\ln\!\Bigl(\tfrac{9}{34}\Bigr) \approx\frac{1}{-0,0726}(-1,327)=18,27\\ \mathrm{min}.

Passo 6

(Temperatura aos 15 minutos)
Usando k\approx-0,0726 em
T(15)=22+68\,e^{-0,0726\cdot15} =22+68\,e^{-1,089} \approx22+68\,(0,336)=22+22,85=44,85^\circ\mathrm{C}.

Resposta

a) A EDO é separável e linear de primeira ordem. A solução geral é
T(t)=T_{\text{amb}}+(T_0-T_{\text{amb}})\,e^{kt}.
b) k\approx -0,0726\\ \mathrm{min}^{-1}.
c) t\approx18{,}3\\ \mathrm{min}.
d) T(15)\approx44{,}9^\circ\mathrm{C}.

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