Uma caneca de café sai da máquina a 90^{\circ} \mathrm{C} e é deixada sobre uma mesa em uma sala a 22^{\circ} \mathrm{C}. Suponha que o resfriamento obedeça à Lei de Resfriamento de Newton, com constante de resfriamento k\left(e m \min ^{-1}\right), isto é: \frac{d T}{d t}=k\left(T-T_{a m b}\right), onde T_{a m b} é a temperatura ambiente (constante).
a) A equação diferencial ordinária acima pode ser classificada como separável e linear? Obtenha a solução geral T(t) em função de T_{a m b}, T(0)=T_{0} e k, utilizando as duas técnicas, se possível.
b) Sabendo que T(8 \mathrm{~min})=60^{\circ} \mathrm{C}, determine k.
c) Em quanto tempo o café atinge 40^{\circ} \mathrm{C} ?
d) Qual é a temperatura do café aos 15 minutos?
Passo 1
O enunciado trata do resfriamento segundo a Lei de Newton, dada pela EDO
\frac{dT}{dt}=k\bigl(T - T_{\text{amb}}\bigr),
onde T_{\text{amb}}=22^\circ\mathrm{C} é constante, T(0)=T_0=90^\circ\mathrm{C} e k é a constante de resfriamento (em \mathrm{min}^{-1}). Vamos primeiro classificar a equação e depois obter a solução geral T(t) usando separação de variáveis e, em seguida, o método de equação linear de primeira ordem.
Passo 2
(Solução por separação de variáveis)
Como a EDO pode ser escrita