Em uma região plana, o potencial elétrico V(x, y) é tal que suas derivadas parciais são dadas por:
  • V_{x}(x, y)=2 x y+\cos y
  • V_{y}(x, y)=x^{2}-x \operatorname{sen} y
As linhas equipotenciais são curvas ao longo das quais d V=0, isto é:
(2 x y+\cos y) d x+\left(x^{2}-x \operatorname{sen} y\right) d y=0
a) Verifique se a EDO (2 x y+\cos y) d x+\left(x^{2}-x \operatorname{sen} y\right) d y=0 é exata.
b) Encontre a função potencial V(x, y).
c) Determine a curva equipotencial que passa pelo ponto (x, y)=(1,0).
d) Verifique se a solução encontrada satisfaz o PVI.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com
M(x,y)=2xy+\cos y, \quad N(x,y)=x^2 - x\operatorname{sen} y,
e pede:
a) verificar se é exata;
b) encontrar a função potencial V(x,y);
c) determinar a curva equipotencial que passa por (1,0);
d) verificar se a solução satisfaz o PVI.

Passo 2

Para testar exatidão, calculamos as derivadas parciais cruzadas:
\frac{\partial M}{\partial y} =2x - \operatorname{sen} y,
\frac{\partial N}{\partial x} =2x - \operatorname{sen} y.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a EDO é exata.

Passo 3

Para encontrar V(x,y), integramos M em relação a x:
V(x,y)=\int (2xy+\cos y)\,dx = x^2y + x\cos y + g(y),
onde g(y) é função de y a determinar.
Diferenciando em relação a y:
\frac{\partial V}{\partial y} = x^2 + (-x\operatorname{sen} y) + g'(y)
deve ser igual a N(x,y)=x^2 - x\operatorname{sen} y.
Logo g'(y)=0 e g(y)=\text{constante}.
Portanto,
V(x,y)=x^2y + x\cos y + C.

Passo 4

A curva equipotencial que passa por (1,0) satisfaz
V(x,y)=V(1,0).
Como
V(1,0)=1^2\cdot0 + 1\cdot\cos0 + C = 1 + C,
segue
x^2y + x\cos y + C = 1 + C \quad\Longrightarrow\quad x^2y + x\cos y = 1.

Passo 5

Para verificar o PVI, definimos
F(x,y)=x^2y + x\cos y - 1 = 0
e diferenciamos implicitamente:
dF = (2xy + \cos y)\,dx + (x^2 - x\operatorname{sen} y)\,dy = 0,
que coincide com a EDO original. Assim, a solução satisfaz o PVI.

Resposta

a) A EDO é exata, pois \partial M/\partial y = \partial N/\partial x = 2x - \operatorname{sen} y.
b)
V(x,y)=x^2y + x\cos y + C.
c) A curva equipotencial que passa por (1,0) é
x^2y + x\cos y = 1.
d) A verificação implícita de F(x,y)=0 recupera exatamente a EDO, logo o PVI está satisfeito.

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