Em uma região plana, o potencial elétrico
é tal que suas derivadas parciais são dadas por:
-
-
As linhas equipotenciais são curvas ao longo das quais
, isto é:
a) Verifique se a EDO
é exata.
b) Encontre a função potencial
.
c) Determine a curva equipotencial que passa pelo ponto
.
d) Verifique se a solução encontrada satisfaz o PVI.
b) Encontre a função potencial
c) Determine a curva equipotencial que passa pelo ponto
d) Verifique se a solução encontrada satisfaz o PVI.
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO
com
e pede:
a) verificar se é exata;
b) encontrar a função potencial ;
c) determinar a curva equipotencial que passa por ;
d) verificar se a solução satisfaz o PVI.
a) verificar se é exata;
b) encontrar a função potencial
c) determinar a curva equipotencial que passa por
d) verificar se a solução satisfaz o PVI.
Passo 2
Para testar exatidão, calculamos as derivadas parciais cruzadas:
Como
, a EDO é exata.
Passo 3
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
onde
é função de
a determinar.
Diferenciando em relação a :
Diferenciando em relação a
deve ser igual a
.
Logo e
.
Portanto,
Logo
Portanto,
Passo 4
A curva equipotencial que passa por
satisfaz
Como
segue
Passo 5
Para verificar o PVI, definimos
e diferenciamos implicitamente:
que coincide com a EDO original. Assim, a solução satisfaz o PVI.
Resposta
a) A EDO é exata, pois
.
b)
b)
c) A curva equipotencial que passa por
é
d) A verificação implícita de
recupera exatamente a EDO, logo o PVI está satisfeito.