Classifique as EDOs abaixo como homogêneas ou do tipo Bernoulli. Para cada EDO: (i) justifique a classificação; (ii) aponte a mudança de variável adequada; (iii) reduza a EDO ao caso linear/separável; (iv) resolva e retorne às variáveis originais.
\left(x{2}+y{2}\right) d x-x y d y=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO
\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dx - x\,y\,dy = 0
e pede (i) classificação, (ii) mudança de variável, (iii) redução ao caso linear/separável, (iv) solução e retorno às variáveis originais. O conteúdo aqui é o de EDOs homogêneas, que se resolvem pela substituição y = v x.

Passo 2

Para classificar, escrevemos em forma de derivada:
\frac{dy}{dx} = \frac{x^{2}+y^{2}}{x\,y} = \frac{x^{2}}{x\,y} + \frac{y^{2}}{x\,y} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = f\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr).
Como o membro direito depende apenas de y/x, trata-se de uma EDO homogênea de grau zero (não é da forma de Bernoulli).

Passo 3

Fazemos a mudança de variável típica para homogêneas:
y = v\,x, \quad \text{onde}\;\;v = \frac{y}{x}.
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\frac{dy}{dx} = v + x\,\frac{dv}{dx}.

Passo 4

Substituindo em \frac{dy}{dx} = \frac{1+v^{2}}{v} obtemos
v + x\,\frac{dv}{dx} = \frac{1+v^{2}}{v} \quad\Longrightarrow\quad x\,\frac{dv}{dx} = \frac{1+v^{2}}{v} - v = \frac{1}{v} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dv}{dx} = \frac{1}{v\,x}.
Essa é uma EDO separável em v e x.

Passo 5

Separamos e integramos:
v\,dv = \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \int v\,dv = \int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{v^{2}}{2} = \ln\lvert x\rvert + C.

Passo 6

Voltando à variável original y = v\,x, temos
v^{2} = \frac{y^{2}}{x^{2}},
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\frac{y^{2}}{2\,x^{2}} = \ln\lvert x\rvert + C \quad\Longrightarrow\quad y^{2} = 2\,x^{2}\,\ln\lvert x\rvert + C'\,x^{2},
onde C' = 2C é a constante geral.

Resposta

A solução implícita geral é
y^{2} = 2\,x^{2}\,\ln\lvert x\rvert + C\,x^{2}.

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