Classifique as EDOs abaixo como homogêneas ou do tipo Bernoulli. Para cada EDO: (i) justifique a classificação; (ii) aponte a mudança de variável adequada; (iii) reduza a EDO ao caso linear/separável; (iv) resolva e retorne às variáveis originais.
\left(x{2}+y{2}\right) d x-x y d y=0
\left(x{2}+y{2}\right) d x-x y d y=0
Passo 1
O enunciado dá a EDO
e pede (i) classificação, (ii) mudança de variável, (iii) redução ao caso linear/separável, (iv) solução e retorno às variáveis originais. O conteúdo aqui é o de EDOs homogêneas, que se resolvem pela substituição
.
Passo 2
Para classificar, escrevemos em forma de derivada:
Como o membro direito depende apenas de
, trata-se de uma EDO homogênea de grau zero (não é da forma de Bernoulli).
Passo 3
Fazemos a mudança de variável típica para homogêneas:
Logo
Passo 4
Substituindo em
obtemos
Essa é uma EDO separável em
e
.
Passo 5
Separamos e integramos:
Passo 6
Voltando à variável original
, temos
logo
onde
é a constante geral.
Resposta
A solução implícita geral é