Em um reator bem misturado, a concentração de micro-organismos P(t) (células / m L ) evolui segundo o modelo de Thomas Malthus:
\frac{d P}{d t}=k P, \operatorname{com} P(0)=P_{0}
onde:
  • k é a taxa específica de crescimento \left(h^{-1}\right).
  • P_{0} é a concentração inicial.
Considere os seguintes dados e perguntas:
a) Resolva a EDO e obtenha a expressão geral P(t) em função de P_{0} e k.
b) Suponha P_{0}=1,0 \times 10^{6} células / m L e k=0,35 h^{-1}. Escreva P(t) explicitamente e calcule a concentração após 3 horas.
c) Em uma condição de choque (ex.: queda brusca de temperatura), a taxa efetiva passa a k=-0,05 h^{-1}. Se no instante do choque a população é P(0)=1,0 \times 10^{6} células / \mathrm{mL}, em quanto tempo a concentração cai para 10 \% do valor inicial?

Passo 1

O enunciado apresenta o modelo de crescimento/extermínio exponencial de Thomas Malthus, descrito pela EDO de primeira ordem
\frac{dP}{dt}=k\,P,\quad P(0)=P_0,
onde P(t) é a concentração de células, k a taxa específica h^{-1} e P_0 a concentração inicial. Vamos resolver a EDO para obter a expressão geral de P(t), depois aplicar os casos numéricos.

Passo 2

Para resolver
\frac{dP}{dt}=k\,P
separamos variáveis:
\frac{dP}{P}=k\,dt.
Integrando ambos os lados,
\int\frac{dP}{P}=\int k\,dt \quad\Longrightarrow\quad \ln|P|=k\,t+C.
Exponentiando e usando P(0)=P_0 para determinar C,
P(t)=e^{k\,t+C}=e^C\,e^{k\,t}.
Como P(0)=e^C=P_0, concluímos
\boxed{P(t)=P_0\,e^{k\,t}.}

Passo 3

Substituindo P_0=1,0\times10^{6} células/mL e k=0,35\,h^{-1} na solução,
P(t)=1,0\times10^{6}\,e^{0,35\,t}.
Para t=3 horas,
P(3)=1,0\times10^{6}\,e^{0,35\cdot3} =1,0\times10^{6}\,e^{1,05} \approx1,0\times10^{6}\times2,857 \approx2,86\times10^{6}\text{ células/mL}.é

Passo 4

No choque a taxa passa a k=-0,05\,h^{-1} e queremos P(t)=0{,}1\,P_0. Da solução
P(t)=P_0\,e^{-0,05\,t}
temos
0{,}1\,P_0=P_0\,e^{-0,05\,t} \quad\Longrightarrow\quad e^{-0,05\,t}=0{,}1 \quad\Longrightarrow\quad -0{,}05\,t=\ln(0{,}1)= -\ln(10).
Logo
t=\frac{\ln(10)}{0,05}\approx\frac{2,3026}{0,05}\approx46,05\text{ h}.

Resposta

a) \displaystyle P(t)=P_0\,e^{k\,t}.
b) \displaystyle P(t)=1,0\times10^{6}e^{0,35\,t},\quad P(3)\approx2,86\times10^{6} células/mL.
c) t=\dfrac{\ln(10)}{0,05}\approx46,05 horas.

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