Em um reator bem misturado, a concentração de micro-organismos
(células
) evolui segundo o modelo de Thomas Malthus:
onde:
-
é a taxa específica de crescimento
.
-
é a concentração inicial.
Considere os seguintes dados e perguntas:
a) Resolva a EDO e obtenha a expressão geral
em função de
e
.
b) Suponha
células
e
. Escreva
explicitamente e calcule a concentração após 3 horas.
c) Em uma condição de choque (ex.: queda brusca de temperatura), a taxa efetiva passa a
. Se no instante do choque a população é
células
, em quanto tempo a concentração cai para
do valor inicial?
a) Resolva a EDO e obtenha a expressão geral
b) Suponha
c) Em uma condição de choque (ex.: queda brusca de temperatura), a taxa efetiva passa a
Passo 1
O enunciado apresenta o modelo de crescimento/extermínio exponencial de Thomas Malthus, descrito pela EDO de primeira ordem
onde
é a concentração de células,
a taxa específica
e
a concentração inicial. Vamos resolver a EDO para obter a expressão geral de
, depois aplicar os casos numéricos.
Passo 2
Para resolver
separamos variáveis:
Integrando ambos os lados,
Exponentiando e usando
para determinar
,
Como
, concluímos
Passo 3
Substituindo
células/mL e
na solução,
Para
horas,
Passo 4
No choque a taxa passa a
e queremos
. Da solução
temos
Logo
Resposta
a)
b) células/mL.
c) horas.
b)
c)