Q4: Um canhão está chumbado no chão de um vagão de trem, que está livre para se deslocar sem atrito num trilho reto. A massa total de canhão mais vagão é M=1200 \mathrm{~kg}. O canhão atira uma bala de massa m=1,2 \mathrm{~kg} com velocidade v=115 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}. A bala move ao longo do vagão uma distância de 85 m até se encravar na parede no fim do vagão.
(a) Calcule a velocidade de recuo do vagão depois que a bala é atirada.
(b) Determine a velocidade do vagão depois que a bala atinge a parede.
(c) Qual o deslocamento final do vagão como resultado do tiro?

Passo 1

O enunciado descreve um vagão de massa total M=1200\\ \mathrm{kg} apoiado sem atrito num trilho, contendo um canhão que dispara uma bala de massa m=1{,}2\\ \mathrm{kg} com velocidade inicial v=115\\ \mathrm{m/s} em relação ao vagão. Como não há forças externas horizontais, vamos usar conservação do momento linear para:
1. Calcular a velocidade de recuo do vagão imediatamente após o disparo.
2. Verificar a velocidade do vagão logo após a bala se encravar na parede de trás.
3. Determinar o deslocamento do vagão enquanto a bala percorre 85\\ \mathrm{m} até a parede.

Passo 2

Imediatamente depois do disparo, antes da bala atingir a parede, a bala (velocidade relativa ao vagão v) e o vagão (velocidade de recuo V) são um sistema isolado. Para escrever a conservação do momento, note que a velocidade da bala em relação ao solo é v+V (positivo no sentido do disparo) e o vagão fica com V (negativo). Portanto
m\,(v+V)+M\,V=0.
Isolando V,
(m+M)\,V=-m\,v \quad\Longrightarrow\quad V=-\frac{m\,v}{M+m}.
Substituindo m=1{,}2, M=1200 e v=115,
V=-\frac{1{,}2\cdot115}{1200+1{,}2} \approx -0{,}115\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Quando a bala atinge e se encrava na parede de trás, é uma colisão perfeitamente inelástica interna ao sistema vagã o+bala. O momento logo antes da colisão é o mesmo logo após o disparo, vale zero (veja passo 2). Portanto, chamando V' a velocidade conjunta depois da colisão,
(M+m)\,V'=0 \quad\Longrightarrow\quad V'=0.

Passo 4

Durante o tempo em que a bala percorre L=85\\ \mathrm{m} relativo ao vagão, ela o “empurra” para trás com velocidade constante V. O tempo de viagem, medido no referencial do vagão, é
t=\frac{L}{v}=\frac{85}{115}\approx0{,}739\\ \mathrm{s}.
Nesse intervalo, o vagão se desloca
s=V\,t =-0{,}115\times0{,}739 \approx -0{,}085\\ \mathrm{m}.
O sinal negativo indica recuo; em módulo, são 0{,}085\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) \displaystyle V=-0{,}115\\ \mathrm{m/s}.
(b) \displaystyle V'=0\\ \mathrm{m/s}.
(c) \displaystyle |s|=0{,}085\\ \mathrm{m}.

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