Q6: Uma patinadora de gelo de massa 120 kg está patinando numa pista de gelo com velocidade constante 8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}. Sua amiga, que está na borda da pista, lhe joga uma bola de ginástica, de massa 20 kg , com velocidade escalar 3 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}. Se a direção de movimento da bola é perpendicular à direção inicial da patinadora, qual é sua velocidade final depois de pegar a bola? Qual é o ângulo entre as direções inicial e final da patinadora? Suponha que a patinadora se move sem atrito.
R6 6,87 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}, 3,58^{\circ}

Passo 1

O enunciado descreve uma patinadora de massa M=120 kg deslizando sem atrito com velocidade constante \,v_1=8 m/s ao longo do eixo x. Ela pega uma bola de massa m=20 kg que vem com velocidade \,v_2=3 m/s ao longo do eixo y, perpendicular à direção inicial da patinadora. Queremos a velocidade final conjunta e o ângulo \theta entre a direção inicial ( x) e a direção final.

Passo 2

Adotamos um sistema de referência em que
– eixo x: direção da velocidade inicial da patinadora;
– eixo y: direção da bola.
Como não há forças externas, conservamos o momento linear vetorial:
\mathbf{p}_{\rm tot}=\mathbf{p}_{\rm pat}+\mathbf{p}_{\rm bola} =(Mv_1)\,\hat{\mathbf{i}}+(mv_2)\,\hat{\mathbf{j}}.

Passo 3

Calculamos as componentes do momento inicial:
p_x = M v_1 = 120 \times 8 = 960\quad(\mathrm{kg\cdot m/s}),
p_y = m v_2 = 20 \times 3 = 60\quad(\mathrm{kg\cdot m/s}).

Passo 4

Após pegar a bola, a massa total é M+m=140 kg e a velocidade final \mathbf{v}_f=(v_{fx},v_{fy}) satisfaz
\mathbf{v}_f=\frac{\mathbf{p}_{\rm tot}}{M+m} =\Bigl(\frac{960}{140},\,\frac{60}{140}\Bigr) \approx(6,8571,\;0,4286)\,\mathrm{m/s}.

Passo 5

O módulo de \mathbf{v}_f é
v_f=\sqrt{v_{fx}^2+v_{fy}^2} =\sqrt{(6,8571)^2+(0,4286)^2} \approx6,87\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

O ângulo \theta entre \mathbf{v}_f e o eixo x vem de
\theta=\arctan\!\bigl(\tfrac{v_{fy}}{v_{fx}}\bigr) =\arctan\!\bigl(\tfrac{0,4286}{6,8571}\bigr) \approx3,58^\circ.

Resposta

\,6,87\\ \mathrm{m/s},\;3,58^\circ

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