Q3: Um homem de massa 80 kg está na popa (traseira!) de um barco de comprimento 4 metros e massa 120 kg . A proa (frente) do barco está a um metro da beira do cais. O homem anda até a proa do barco. Se não há atrito entre o barco e a água, a que distância do cais ele se encontra?
(Obs: suponha que a massa total da barca se encontra no seu centro, como se fosse uma massa pontual).

Passo 1

Resumindo: temos um barco de massa M=120 kg e comprimento L=4 m, flutuando sem atrito, com a proa a 1 m do cais. Um homem de massa m=80 kg anda da popa até a proa. Como não há forças horizontais externas, o centro de massa (CM) do sistema home m+barco não se move. Vamos usar conservação do CM para achar a posição final do homem em relação ao cais.

Passo 2

Escolhemos o eixo x com origem no cais, positivo para dentro da água. Inicialmente:
– Proa do barco em x_{\rm front,0}=1 m.
– Popa em x_{\rm rear,0}=1+4=5 m.
– Centro do barco em
x_{\rm boat,0}=\frac{1+5}{2}=3\text{ m}.
– Homem inicialmente em x_{m,0}=5 m.

Passo 3

Calculamos a posição inicial do CM do sistema:
x_{\rm cm} =\frac{M\,x_{\rm boat,0}+m\,x_{m,0}}{M+m} =\frac{120\cdot3 + 80\cdot5}{200} =\frac{360+400}{200} =3{,}8\text{ m}.

Passo 4

Após o homem andar até a proa, o barco desloca-se para manter o CM fixo. Seja x_c a nova posição do centro do barco; então o homem fica em
x_{m,f}=x_c - \frac{L}{2}=x_c - 2.
A posição final do CM é
x_{\rm cm} =\frac{120\,x_c + 80\,(x_c -2)}{200} =\frac{200\,x_c -160}{200} =x_c - 0{,}8.

Passo 5

Igualando as posições do CM inicial e final:
x_c - 0{,}8 = 3{,}8 \quad\Longrightarrow\quad x_c = 4{,}6\text{ m}.
Logo o homem termina em
x_{m,f}=x_c - 2 = 4{,}6 - 2 = 2{,}6\text{ m}.

Resposta

O homem acaba a 2{,}6 m do cais.

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