Q2: Um sistema consiste de três corpos, de massas 0,5 \mathrm{~kg}, 1 \mathrm{~kg} e 1,5 \mathrm{~kg}. A primeira massa está no ponto ( 1,2,3 ) e a segunda no ponto - 1,-2,-3 ). A localização da terceira massa é desconhecida, mas sabe-se que o centro de massa do sistema está no ponto ( -1,1,0 ). Encontre a posição da terceira massa.

Passo 1

O enunciado dá três massas m_1=0,5, m_2=1 e m_3=1,5 kg localizadas em \mathbf r_1=(1,2,3), \mathbf r_2=(-1,-2,-3) e \mathbf r_3=(x_3,y_3,z_3). Sabe-se que o centro de massa do sistema é \mathbf r_{\rm cm}=(-1,1,0). Vamos usar o conceito de centro de massa de um sistema discreto para calcular \mathbf r_3.

Passo 2

A posição do centro de massa para um sistema discreto é
\mathbf r_{\rm cm} =\frac{1}{M}\sum_{i=1}^3 m_i\,\mathbf r_i,
onde M=m_1+m_2+m_3. Aqui
M=0,5+1+1,5=3\text{ kg}.

Passo 3

Para a componente x temos
x_{\rm cm} =\frac{1}{M}\bigl(m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3\bigr).
Substituindo valores:
-1 = \frac{1}{3}\bigl(0,5\cdot1 + 1\cdot(-1) + 1,5\,x_3\bigr) \;\Longrightarrow\; -3 = 0,5 - 1 + 1,5\,x_3 \;\Longrightarrow\; 1,5\,x_3 = -2,5 \;\Longrightarrow\; x_3 = -\tfrac{5}{3}.

Passo 4

Para a componente y usamos
1 = \frac{1}{3}\bigl(0,5\cdot2 + 1\cdot(-2) + 1,5\,y_3\bigr) \;\Longrightarrow\; 3 = 1 - 2 + 1,5\,y_3 \;\Longrightarrow\; 1,5\,y_3 = 4 \;\Longrightarrow\; y_3 = \tfrac{8}{3}.

Passo 5

Para a componente z temos
0 = \frac{1}{3}\bigl(0,5\cdot3 + 1\cdot(-3) + 1,5\,z_3\bigr) \;\Longrightarrow\; 0 = 1,5 - 3 + 1,5\,z_3 \;\Longrightarrow\; 1,5\,z_3 = 1,5 \;\Longrightarrow\; z_3 = 1.

Resposta

\mathbf r_3 = \bigl(-\tfrac{5}{3},\,\tfrac{8}{3},\,1\bigr).

Exercícios relacionados