Um canhão dispara projéteis a determinado ângulo em relação à horizontal. Considere vy inicial = 70 m/s e g = 10 m/s2 e despreze a resistência do ar. Qual deve ser a velocidade vertical do projétil lançado para que ele atinja um alvo situado a 1 km de distância da origem do disparo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento de projéteis. A gente tem um canhão que dispara projéteis com uma velocidade vertical inicial de $ v_{y, inicial} = 70 , m/s $, a aceleração da gravidade $ g = 10 , m/s^2 $, e queremos saber qual deve ser a velocidade vertical para alcançar um alvo que está a 1 km de distância. Vamos usar aqui os conceitos de física de projéteis, especificamente a decomposição das velocidades nos eixos horizontal e vertical.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o alcance horizontal ($ R $) de um projétil é dado pela fórmula:
R
onde $ v_x $ é a velocidade horizontal e $ t $ é o tempo total de voo.

Passo 3

Sabemos que a velocidade horizontal permanece constante durante todo o voo porque a resistência do ar está sendo desprezada. Se o canhão dispara com um ângulo $ \theta $, então:
theta
E a velocidade vertical inicial é:
vx = v times cos(theta)
No nosso caso, já temos $ v_y = 70 , m/s $.

Passo 4

Agora, vamos calcular o tempo total de voo. O tempo para o projétil subir até o ponto mais alto é quando $ v_y = 0 $:
vy = 0
Como o tempo de subida é igual ao tempo de descida, o tempo total de voo ($ t $) é:
tsubida = vyg = 7010 = 7 , s

Passo 5

Com o tempo total de voo conhecido, podemos usar a fórmula do alcance para encontrar a velocidade horizontal necessária:
R = vx times t Rightarrow vx = Rt = 100014 approx 71,43 , m/s

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a velocidade inicial total $ v $ usando as componentes $ v_x $ e $ v_y $:
v

Resposta

A velocidade vertical necessária para atingir o alvo a 1 km de distância é aproximadamente $ 70 , m/s $ com uma velocidade inicial total de $ 100 , m/s $.

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