Um canhão dispara projéteis com velocidade inicial com módulo
. Logo, o alcance máximo de seus projéteis é dado por
. (a) Mostre que, para atingir um alvo à distância
o canhoneiro pode optar por dois ângulos
. (b) Determine os dois valores de
para um alvo à distância de 800 m , supondo
.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede e o que a gente vai usar.
Enunciado em resumo: um canhão lança projéteis com velocidade inicial , e o alcance máximo é
Enunciado em resumo: um canhão lança projéteis com velocidade inicial
(a) Provar que, se a gente quer atingir um alvo a uma distância
, existem dois ângulos de tiro possíveis.
(b) Calcular esses dois ângulos quando e
.
(b) Calcular esses dois ângulos quando
Conteúdo: movimento de projétil (cinemática), fórmula do alcance, equação trigonométrica
e suas duas soluções.
O que vamos precisar:
- A fórmula do alcance
. - Saber que, para
, há dois no intervalo : e . - No fim, calcular numericamente com
.
Passo 2
Primeiro, a teoria do alcance em movimento uniforme no eixo horizontal e queda livre no vertical dá:
Se queremos um alcance
qualquer, isolamos
:
Para um alvo que esteja mais perto que o alcance máximo (
), o lado direito fica menor que 1. Aí temos a equação
Sabendo trigonometria básica, no intervalo
as soluções são
onde
.
Isso prova que existem dois ângulos e
que dão o mesmo alcance.
Isso prova que existem dois ângulos
Passo 3
Agora vamos ao número:
,
,
.
- Calcular
-
Em graus isso dá cerca de . - As duas soluções para
são - Dividindo por 2:
Resposta
Os dois ângulos possíveis são aproximadamente