Um canhão dispara projéteis com velocidade inicial com módulo v0. Logo, o alcance máximo de seus projéteis é dado por R=v0 ^2 / g. (a) Mostre que, para atingir um alvo à distância Rá o canhoneiro pode optar por dois ângulos theta. (b) Determine os dois valores de theta para um alvo à distância de 800 m , supondo v0=100 m / s.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede e o que a gente vai usar.
Enunciado em resumo: um canhão lança projéteis com velocidade inicial Rmáx = v0^2g , e o alcance máximo é
á
(a) Provar que, se a gente quer atingir um alvo a uma distância á, existem dois ângulos de tiro possíveis.
(b) Calcular esses dois ângulos quando e .
Conteúdo: movimento de projétil (cinemática), fórmula do alcance, equação trigonométrica e suas duas soluções.
O que vamos precisar:
  • A fórmula do alcance .
  • Saber que, para , há dois no intervalo : e .
  • No fim, calcular numericamente com .

Passo 2

Primeiro, a teoria do alcance em movimento uniforme no eixo horizontal e queda livre no vertical dá:
R = v0^2g,sin(2theta)
Se queremos um alcance sin(2theta) = R,gv0^2 qualquer, isolamos sin(2theta)=k,com 0:
2theta1 = alphae2theta2 = pi - alpha,
Para um alvo que esteja mais perto que o alcance máximo ( á), o lado direito fica menor que 1. Aí temos a equação
Sabendo trigonometria básica, no intervalo as soluções são
onde .
Isso prova que existem dois ângulos e que dão o mesmo alcance.

Passo 3

Agora vamos ao número: 2theta1 = 51,7^circ, 2theta2 = 180^circ - 51,7^circ = 128,3^circ , theta1 = 25,85^circ, theta2 = 64,15^circ , .
  1. Calcular
  2. Em graus isso dá cerca de .
  3. As duas soluções para são
  4. Dividindo por 2:

Resposta

Os dois ângulos possíveis são aproximadamente
boxedtheta1 approx 25,9^circe theta2 approx 64,1^circ

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