Um canhão dispara um projétil explosivo com uma velocidade inicial
e um angulo
com a horizontal, porém o projétil falha e não explode. Como esperado, esse projétil atinge o solo arenoso à distancia de alcance prevista teoricamente, dada por
Um segundo projétil idêntico ao primeiro é agora lançado nas mesmas condições do primeiro. Porém, este segundo projétil, no ponto mais alto da trajetória, explode em três fragmentos de massas iguais. Os fragmentos caem alinhados, mas a distâncias diferentes do ponto de lançamento. O fragmento mais próximo caiu a
do ponto de lançamento. A que distância do canhão caiu cada um dos outros dois fragmentos?
Passo 1
O enunciado trata de um projétil lançado com
e ângulo
. Sem explosão, o alcance teórico é
No segundo disparo, igual ao primeiro, o projétil explode no ponto mais alto (vértice), gerando três fragmentos de massa igual que caem alinhados em distâncias diferentes do canhão. O fragmento mais próximo atingiu o solo a
. Pergunta: a que distâncias caíram os outros dois fragmentos?
Passo 2
Primeiro calculamos o alcance
e a posição do vértice.
O vértice fica em
, mas não precisamos desse valor diretamente. O tempo de queda de cada fragmento após a explosão é
onde
é a altura máxima. Novamente, não precisamos do número exato de
pois a seguir usaremos apenas conservação de momento.
Passo 3
Como não há força externa horizontal durante a explosão, o momento horizontal do conjunto se conserva. Isso implica que o centro de massa dos três fragmentos continua com a velocidade horizontal original
, e, portanto, aterrissa no alcance
. Logo
Passo 4
Até aqui só sabemos
Para encontrar
e
separadamente, notamos que um dos fragmentos pode não receber impulso adicional na explosão e, assim, mantém exatamente a velocidade horizontal original
. Esse fragmento cairá no alcance teórico
. Chamemos esse fragmento de “2”. Então
e daí
Resposta
O segundo fragmento caiu a
do canhão e o terceiro a
.