Um canhão dispara um projétil explosivo com uma velocidade inicial v_{0}=20,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e um angulo \theta_{0}=60^{\circ} com a horizontal, porém o projétil falha e não explode. Como esperado, esse projétil atinge o solo arenoso à distancia de alcance prevista teoricamente, dada por
R=\frac{v_{0}^{2}}{g} \operatorname{sen}\left(2 \theta_{0}\right) .
Um segundo projétil idêntico ao primeiro é agora lançado nas mesmas condições do primeiro. Porém, este segundo projétil, no ponto mais alto da trajetória, explode em três fragmentos de massas iguais. Os fragmentos caem alinhados, mas a distâncias diferentes do ponto de lançamento. O fragmento mais próximo caiu a 20,3 \mathrm{~m} do ponto de lançamento. A que distância do canhão caiu cada um dos outros dois fragmentos?

Passo 1

O enunciado trata de um projétil lançado com v_0=20{,}0\rm\\ m/s e ângulo \theta_0=60^\circ. Sem explosão, o alcance teórico é
R=\frac{v_0^2}{g}\sin(2\theta_0).
No segundo disparo, igual ao primeiro, o projétil explode no ponto mais alto (vértice), gerando três fragmentos de massa igual que caem alinhados em distâncias diferentes do canhão. O fragmento mais próximo atingiu o solo a x_1=20{,}3\rm\\ m. Pergunta: a que distâncias caíram os outros dois fragmentos?

Passo 2

Primeiro calculamos o alcance R e a posição do vértice.
R=\frac{(20{,}0)^2}{9{,}8}\,\sin120^\circ =\frac{400}{9{,}8}\times\frac{\sqrt3}{2}\approx35{,}4\rm\\ m.
O vértice fica em x=\tfrac{R}{2}, mas não precisamos desse valor diretamente. O tempo de queda de cada fragmento após a explosão é
t=\sqrt{\frac{2H}{g}},
onde H é a altura máxima. Novamente, não precisamos do número exato de t pois a seguir usaremos apenas conservação de momento.

Passo 3

Como não há força externa horizontal durante a explosão, o momento horizontal do conjunto se conserva. Isso implica que o centro de massa dos três fragmentos continua com a velocidade horizontal original v_{0x}=v_0\cos\theta_0, e, portanto, aterrissa no alcance R. Logo
x_{\rm CM}=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}=R \quad\Longrightarrow\quad x_1+x_2+x_3=3R.

Passo 4

Até aqui só sabemos
x_2+x_3=3R - x_1 =3\times35{,}4 - 20{,}3 =106{,}2 - 20{,}3 =85{,}9\rm\\ m.
Para encontrar x_2 e x_3 separadamente, notamos que um dos fragmentos pode não receber impulso adicional na explosão e, assim, mantém exatamente a velocidade horizontal original v_{0x}. Esse fragmento cairá no alcance teórico R. Chamemos esse fragmento de “2”. Então
x_2=R=35{,}4\rm\\ m,
e daí
x_3=(x_2+x_3)-x_2=85{,}9-35{,}4=50{,}5\rm\\ m.

Resposta

O segundo fragmento caiu a 35{,}4\rm\\ m do canhão e o terceiro a 50{,}5\rm\\ m.

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