Uma haste fina, não condutora, é encurvada de modo a formar um aro de circunferência de raio
, subtendendo um ângulo central
. Distribui-se uniformemente, em toda a sua extensão, uma carga total
. Determinar o campo elétrico
, no centro da circunferência, em função de
e
. Justifique suas respostas. (2,0 pontos)
Passo 1
O enunciado dá um arco de circunferência de raio
e ângulo central
, com carga total
distribuída uniformemente. Queremos o campo elétrico
no centro da circunferência.
Conteúdo: lei de Coulomb, distribuição contínua de carga e simetrias.
Conteúdo: lei de Coulomb, distribuição contínua de carga e simetrias.
Passo 2
A densidade linear de carga é
Parametrizamos o arco por um ângulo
variando de
a
.
Um elemento de carga é
Um elemento de carga é
Passo 3
O campo gerado por
no centro vale
onde
é o versor do elemento até o ponto (no caso,
, pois o campo de carga positiva empurra para longe da carga). Se
é o versor do centro para o elemento, então
Logo os componentes são
Passo 4
Pelo intervalo
temos
(pela simetria ímpar).
Para :
Para
Passo 5
Substituindo
obtém-se
Logo o campo resultante aponta ao longo da bissetriz do arco (e, para
, aponta em direção ao interior do arco).
Resposta
onde
é o versor que aponta do centro para o meio do arco.