Uma lente de menisco divergente com índice de refração de 1,60 possui superfícies esféricos cujos raios são de 6,0 \mathrm{~cm} e 4,0 \mathrm{~cm}. Qual o valor do foco da lente?

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados:
  • índice de refração da lente: n=1{,}60;
  • raios das superfícies esféricas: 6{,}0\\ \text{cm} e 4{,}0\\ \text{cm};
  • a lente é um menisco divergente.
    O que se pede: determinar o foco (comprimento focal) da lente.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar — fórmula do fabricante de lentes (fórmula do fabricante no limite de lente delgada):
\frac{1}{f}=(n-1)\!\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right),
onde:
  • f é o comprimento focal da lente (o que queremos);
  • n é o índice de refração do material da lente (em relação ao ar, que tem índice aproximado 1);
  • R_1 é o raio de curvatura da primeira superfície (a superfície pela qual a luz entra), e R_2 é o raio da segunda superfície;
  • a convenção de sinais usada aqui: um raio R é positivo se o centro de curvatura da superfície está à direita da superfície quando a luz incide da esquerda para a direita; R é negativo se o centro está à esquerda.
Vou adotar a passagem de luz da esquerda para a direita. Para um menisco divergente típico, uma escolha consistente (e que produz resultado negativo para f, como esperado para lente divergente) é tomar:
R_1=+6{,}0\\ \text{cm},\qquad R_2=+4{,}0\\ \text{cm},
ou seja, ambas as centros de curvatura ficam à direita das respectivas superfícies (a primeira superfície é menos curvada, raio maior 6{,}0\\ \text{cm}; a segunda é mais curvada, raio menor 4{,}0\\ \text{cm}). Com essa escolha a diferença \dfrac{1}{R_1}-\dfrac{1}{R_2} fica negativa, gerando f<0, o que corresponde a uma lente divergente (foco virtual).

Passo 3

Agora substituímos os números na fórmula, explicando cada passo aritmético:
Calcular primeiro a diferença dos inversos dos raios:
\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}=\frac{1}{6{,}0}-\frac{1}{4{,}0}.
Fazendo a conta com frações:
\frac{1}{6}-\frac{1}{4}=\frac{2-3}{12}=-\frac{1}{12}.
Multiplicando por n-1 (lembre: n-1=1{,}60-1=0{,}60):
\frac{1}{f}=(0{,}60)\left(-\frac{1}{12}\right)=-\frac{0{,}60}{12}=-0{,}05\\ \text{cm}^{-1}.

Passo 4

Invertendo para obter f:
f=\frac{1}{-0{,}05}=-20\\ \text{cm}.
Interpretação física curta: o sinal negativo indica que a lente é divergente (o foco é virtual); o valor absoluto |f|=20\\ \text{cm} significa que o ponto focal virtual fica a 20\\ \text{cm} à esquerda da lente (para luz que vem da esquerda).

Resposta

-20\\ \text{cm}

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