Um cano de 100 m de comprimento conecta um reservatório dágua a uma lagoa artificial. Por este cano escoam 6 times 10^4 m^3 dágua a cada 300 s . Se o extremo do cano conectado ao reservatório tem uma leitura de pressão manométrica de 1,5 times 10^5 Pa e o extremo pelo qual sai a água em direção à lagoa está aberto à atmosfera, qual é o raio R do cano? Suponha um escoamento de Poiseuille no cano. A viscosidade da água é eta=10^-3 N s / m^2.

Passo 1

Beleza, vou te ajudar nisso. O enunciado diz o seguinte: temos um cano de comprimento , por onde escorrem de água a cada . A pressão manométrica na entrada é e a saída está à pressão atmosférica (ou seja, zero manométrica). Queremos achar o raio do cano, supondo escoamento de Poiseuille.
Conteúdo da matéria: escoamento laminar em tubo cilíndrico (Lei de Poiseuille).
O que a gente vai usar:
  • Cálculo de vazão volumétrica .
  • Fórmula de Poiseuille: .
  • Manipular a fórmula para isolar e depois botar números.

Passo 2

Primeiro, calcula a vazão volumétrica média Q = Vt = 6times10^4300 = 200 m^3/s . A vazão é o volume que passa por segundo.
Dados:
• Volume total
• Tempo
Então

Passo 3

Agora a teoria do escoamento de Poiseuille em tubo cilíndrico, que vale pra fluxo laminar e água com viscosidade Q ;=; pi,R^4,De. A fórmula diz:
R^4 ;=;8,eta,L,Qpi,De
onde
é a vazão volumétrica (m³/s),
é o raio do cano (m),
é a diferença de pressão entre entrada e saída (Pa),
é a viscosidade dinâmica (Pa·s),
é o comprimento do cano (m).
Aqui , , . Agora a gente resolve pra .
Isolando :

Passo 4

Bora colocar os valores e tirar a raiz quarta:
R^4 = 8 times (10^-3) times 100 times 200pi times 1,5times10^5 = 8times10^-3times100times200pitimes1,5times10^5
Calculando passo a passo:
  1. R^4 approx 1604,7124times10^5 approx 3,395times10^-4 .
  2. Denominador: R = l(3,395times10^-4r)^1/4 approx 0,136 m .
  3. Assim
Agora extraímos a raiz quarta:

Resposta

O raio do cano é aproximadamente .

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