3- Um cano com um diâmetro interno de 2.45 cm transporta água para o porão de uma casa a uma velocidade de 0.83 \mathrm{~m} / \mathrm{s} com uma pressão de 166441.1 Pa . Se o cano se estreita para 1.1 cm e sobe para o segundo piso, 7.1 m acima do ponto de entrada, quais são
a) a velocidade da água no segundo andar em m/s;
b) a pressão da água no segundo andar em Pa. .

Passo 1

O enunciado trata de escoamento incompressível de água num cano que muda de diâmetro e de nível. Vamos usar dois princípios da mecânica dos fluidos: a equação da continuidade (conservação de massa) para relacionar as velocidades antes e depois da contração e a equação de Bernoulli para relacionar pressões, velocidades e elevações nos dois pontos.

Passo 2

Primeiro aplicamos a continuidade:
A_1 v_1 = A_2 v_2
em que
A_i = \frac{\pi D_i^2}{4}.
Calculando as áreas:
A_1 = \frac{\pi (0{,}0245)^2}{4} \approx 4{,}714\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2,
A_2 = \frac{\pi (0{,}0110)^2}{4} \approx 9{,}508\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2.
Logo,
v_2 = \frac{A_1}{A_2}\,v_1 \approx \frac{4{,}714\times10^{-4}}{9{,}508\times10^{-5}}\times0{,}83 \approx 4{,}12\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Agora usamos Bernoulli entre o ponto 1 (porão) e o ponto 2 (segundo piso), desprezando perdas:
p_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g z_1 = p_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g z_2.
Como z_2 - z_1 = 7{,}1\\ \mathrm{m}, rearranjamos para p_2:
p_2 = p_1 + \tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_1^2 - v_2^2\bigr) - \rho g\,(z_2 - z_1).

Passo 4

Tomando \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}:
\tfrac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2) = \tfrac{1}{2}\times1000\bigl(0{,}83^2 - 4{,}12^2\bigr) \approx -8{,}15\times10^{3}\\ \mathrm{Pa},
-\rho g\,(z_2 - z_1) = -1000\times9{,}81\times7{,}1 \approx -6,9651\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
Somando tudo:
p_2 = 166\,441{,}1 - 8\,149{,}3 - 69\,651 \approx 88\,640{,}8\\ \mathrm{Pa}.

Resposta

a) v_2 \approx 4{,}12\\ \mathrm{m/s}.
b) p_2 \approx 8,86\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.

Exercícios relacionados