O pêndulo de um relógio feito de invar ( \gamma=0,710^{-6} /{ }^{\circ} \mathrm{C} ) tem período de 0,50 \mathrm{~s} e é exato a 20^{\circ} \mathrm{C}. Se levarmos o relógio para um local à temperatura de 30^{\circ} \mathrm{C}, qual a correção necessária aproximada do relógio, após 30 dias? Resp: 9 s.

Passo 1

O enunciado dá um pêndulo de invar com coeficiente de dilatação linear \gamma = 0,7\times10^{-6}\,/^\circ\mathrm{C}, cujo período é T=0,50\rm\;s a 20^\circ\mathrm{C}. Ao subir a temperatura para 30^\circ\mathrm{C}, o pêndulo se alonga e o período aumenta. Vamos usar a relação
T\propto\sqrt{L},
o fato de \Delta L/L=\gamma\,\Delta T e a aproximação para pequenas variações T'/T\approx1+\tfrac12\,\gamma\,\Delta T. Em seguida, calculamos o erro acumulado em 30 dias.

Passo 2

A variação relativa do comprimento ao aumentar a temperatura em \Delta T=30-20=10^\circ\mathrm{C} é
\frac{\Delta L}{L} = \gamma\,\Delta T = 0,7\times10^{-6}\times10 = 7,0\times10^{-6}.
Logo, o novo período T' satisfaz
\frac{T'}{T} \approx \sqrt{1+\frac{\Delta L}{L}} \approx 1 + \frac12\,\frac{\Delta L}{L} = 1 + \frac12\,(7,0\times10^{-6}) = 1 + 3,5\times10^{-6}.

Passo 3

A diferença \Delta T_{\rm per} em cada oscilação é
\Delta T_{\rm per} = T' - T \approx T\,(3,5\times10^{-6}) = 0,50\;\mathrm{s}\times3,5\times10^{-6} = 1,75\times10^{-6}\;\mathrm{s}.

Passo 4

Em 30 dias temos um total de tempo
30\;\mathrm{d} = 30\times24\times3600 = 2{,}592\times10^{6}\;\mathrm{s},
e o número de oscilações aproximado é
N = \frac{2{,}592\times10^{6}\;\mathrm{s}}{0,50\;\mathrm{s}} = 5{,}184\times10^{6}.

Passo 5

O atraso acumulado após N oscilações é
\Delta t = N \times \Delta T_{\rm per} = 5{,}184\times10^{6}\times1,75\times10^{-6}\;\mathrm{s} \approx 9{,}07\;\mathrm{s}.

Resposta

O relógio atrasa aproximadamente 9 segundos em 30 dias.

Exercícios relacionados