Problema 2: Considere um projétil de massa m e velocidade \vec{v}_{0} - com respeito a um dado referencial inercial - que incide sobre um alvo em repouso. Ao atingir o alvo o projétil emite um som de duração \delta t - correspondente ao tempo de colisão. Considerando que a colisão é totalmente inelástica, obtenha a força que o projétil exerce sobre o alvo.

Passo 1

O enunciado diz que um projétil de massa m e velocidade inicial \vec v_{0} colide totalmente inelasticamente com um alvo em repouso, e que o tempo dessa colisão (durante o qual o projétil exerce força sobre o alvo) é \delta t. Para achar a força média exercida, vamos usar o Teorema do Impulso, que é consequência da Segunda Lei de Newton.

Passo 2

O impulso \vec J é definido por
\vec J \;=\;\int_{0}^{\delta t}\!\vec F\,dt
e, pelo Teorema do Impulso, ele é igual à variação do momento linear:
\vec J = \Delta \vec p = \vec p_{\rm final} - \vec p_{\rm inicial}.

Passo 3

Num choque totalmente inelástico com alvo muito mais massivo (ou fixo), o projétil pára ao final da colisão, logo
\vec p_{\rm final} = \vec 0, \quad \vec p_{\rm inicial} = m\,\vec v_{0},
então
\Delta \vec p = \vec 0 - m\,\vec v_{0} = -\,m\,\vec v_{0}.

Passo 4

Se admitirmos que a força \vec F é aproximadamente constante durante o intervalo \delta t, podemos tirar \vec F fora da integral do impulso e obter
\vec F \,\delta t = \Delta \vec p \quad\Longrightarrow\quad \vec F = \frac{\Delta \vec p}{\delta t} = -\,\frac{m\,\vec v_{0}}{\delta t}.

Resposta

\boxed{\vec F = -\,\frac{m\,\vec v_{0}}{\delta t},}
ou, em módulo,
F = \frac{m\,v_{0}}{\delta t}.

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