Cap 21: Exercício

Três cargas pontuais estão no plano \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}, no vácuo. Uma carga de +\mathbf{1 7} \boldsymbol{\mu} \boldsymbol{C} está localizada no ponto (x ; y)=(0 ; 2,7 m). Outra, de -10 \mu C está localizada na origem (0,0). A terceira carga, com +48 \mu C está localizada no ponto (+2,7 m ; 0). Determine o módulo da força resultante sobre uma carga no ponto (+2,7 m ; 0) e o ângulo do vetor força resultante medido a partir do semi-eixo positivo de x .

Passo 1

O enunciado dá três cargas pontuais no plano x\!-\!y:
  • uma carga q_1 = +17\\ \mu\mathrm{C} em (0;2{,}7\\ \mathrm{m});
  • uma carga q_2 = -10\\ \mu\mathrm{C} em (0;0);
  • uma carga q_3 = +48\\ \mu\mathrm{C} em (2{,}7\\ \mathrm{m};0).
O que se pede:
  1. determinar o módulo da força resultante sobre a carga que está em (2{,}7\\ \mathrm{m};0) (ou seja, sobre q_3) devido às outras duas cargas;
  2. determinar o ângulo do vetor força resultante medido a partir do semi-eixo positivo de x (assumo medida no sentido anti-horário, 0^\circ sendo o eixo +x).
Valores úteis dados (pegos do enunciado):
q_1=+17\\ \mu\mathrm{C},\qquad q_2=-10\\ \mu\mathrm{C},\qquad q_3=+48\\ \mu\mathrm{C},
\text{pos}(q_1)=(0,\,2{,}7),\qquad \text{pos}(q_2)=(0,\,0),\qquad \text{pos}(q_3)=(2{,}7,\,0),
distâncias em metros. Vou calcular a força resultante em q_3 somando vetorialmente as forças de q_1 e q_2 sobre q_3.

Passo 2

Lembra do que usar: a lei de Coulomb para a força entre duas cargas puntiformes é
\mathbf{F} = k\frac{q_a q_b}{r^2}\,\hat{r},
onde
  • k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2} (constante eletrostática no vácuo),
  • q_a,q_b são as cargas (em coulombs),
  • r é a distância entre elas (em metros),
  • \hat{r} é o versor que aponta de uma carga para a outra (direção da força).
Importante: o sinal do produto q_a q_b determina se a força é de repulsão (produto positivo — força dirigida afastando as cargas) ou de atração (produto negativo — força dirigida uma para a outra). No cálculo do módulo usa-se \left|k q_a q_b / r^2\right| e a direção é tratada vetorialmente.

Passo 3

Converter cargas para coulombs:
q_1 = 17\\ \mu\mathrm{C} = 17\times10^{-6}\\ \mathrm{C}, \qquad q_2 = -10\\ \mu\mathrm{C} = -10\times10^{-6}\\ \mathrm{C},
q_3 = 48\\ \mu\mathrm{C} = 48\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.

Passo 4

Calcular a força \mathbf{F}_{23} sobre q_3 devido a q_2 (origem). Distância entre q_3 e q_2:
r_{23} = \left|2{,}7-0\right| = 2{,}7\\ \mathrm{m},\qquad r_{23}^2 = (2{,}7)^2 = 7{,}29\\ \mathrm{m^2}.
Módulo da força:
F_{23} = k\frac{|q_2 q_3|}{r_{23}^2} = 8{,}99\times10^{9}\cdot\frac{(10\times10^{-6})(48\times10^{-6})}{7{,}29}.
Faço as contas passo a passo:
q_2 q_3 = 10\times10^{-6}\cdot48\times10^{-6}=480\times10^{-12}=4{,}80\times10^{-10}\\ \mathrm{C^2}.
k\,q_2 q_3 = 8{,}99\times10^{9}\cdot4{,}80\times10^{-10}=4{,}3152\\ \mathrm{N\cdot m^2}.
F_{23}=\frac{4{,}3152}{7{,}29}=0{,}5922\\ \mathrm{N}\\ (\text{aprox.}).
Direção: q_2 é negativa e q_3 positiva, logo \mathbf{F}_{23} é de atração, apontando de q_3 para a origem, ou seja, ao longo do eixo negativo x. Em componente vetorial:
\mathbf{F}_{23}=(-0{,}5922\\ \hat{\mathbf{i}},\;0\\ \hat{\mathbf{j}})\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Calcular a força \mathbf{F}_{13} sobre q_3 devido a q_1 (em (0,2{,}7)). Primeiro a distância vetorial entre q_1 e q_3:
\Delta \mathbf{r} = \text{pos}(q_3)-\text{pos}(q_1) = (2{,}7,-2{,}7)\\ \mathrm{m}.
Módulo:
r_{13} = \sqrt{(2{,}7)^2+( -2{,}7)^2} = \sqrt{2\cdot(2{,}7)^2} = 2{,}7\sqrt{2}\\ \mathrm{m}.
r_{13}^2 = 2\cdot(2{,}7)^2 = 14{,}58\\ \mathrm{m^2}.
Módulo da força (ambas positivas → repulsão):
F_{13} = k\frac{q_1 q_3}{r_{13}^2} = 8{,}99\times10^{9}\cdot\frac{(17\times10^{-6})(48\times10^{-6})}{14{,}58}.
Calculando:
q_1 q_3 = 17\times10^{-6}\cdot48\times10^{-6}=816\times10^{-12}=8{,}16\times10^{-10}\\ \mathrm{C^2}.
k\,q_1 q_3 = 8{,}99\times10^{9}\cdot8{,}16\times10^{-10}=7{,}33584\\ \mathrm{N\cdot m^2}.
F_{13}=\frac{7{,}33584}{14{,}58}=0{,}5030\\ \mathrm{N}\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

Determinar as componentes de \mathbf{F}_{13}. A direção é do ponto q_1 para q_3 (repulsão), ou seja, vetor unitário
\hat{u}_{13}=\frac{(2{,}7,\,-2{,}7)}{r_{13}}=\frac{(1,\,-1)}{\sqrt{2}}=(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,-\tfrac{1}{\sqrt{2}}).
Portanto as componentes são
F_{13,x}=F_{13}\cdot\tfrac{1}{\sqrt{2}}=0{,}5030\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=0{,}3556\\ \mathrm{N},
F_{13,y}=F_{13}\cdot\big(-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\big)=-0{,}3556\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Somar as componentes vetoriais para achar a força resultante em q_3:
F_x = F_{23,x}+F_{13,x} = -0{,}5922 + 0{,}3556 = -0{,}2366\\ \mathrm{N},
F_y = F_{23,y}+F_{13,y} = 0 + (-0{,}3556) = -0{,}3556\\ \mathrm{N}.

Passo 8

Calcular o módulo da força resultante:
F = \sqrt{F_x^2+F_y^2} = \sqrt{(-0{,}2366)^2+(-0{,}3556)^2} \approx 0{,}4271\\ \mathrm{N}.

Passo 9

Determinar o ângulo \theta do vetor força resultante medido a partir do semi-eixo positivo de x no sentido anti-horário. Uso a função arco-tangente com atenção ao quadrante (atenção: F_x<0 e F_y<0, ou seja, vetor no terceiro quadrante):
\theta = \operatorname{atan2}(F_y,F_x).
Calculando o argumento:
\frac{F_y}{F_x}=\frac{-0{,}3556}{-0{,}2366}=1{,}5029\quad\Rightarrow\quad \arctan(1{,}5029)\approx56{,}57^\circ.
Como ambas componentes são negativas, o ângulo medido a partir do eixo +x (sentido anti-horário) é
\theta = 180^\circ + 56{,}57^\circ = 236{,}57^\circ\\ (\text{aprox.}).
(Se preferir uma medida negativa, isto equivale a -123{,}43^\circ.)

Passo 10

Resumo final (valores arredondados com três algarismos significativos). Você consegue! Respira fundo: a ideia é sempre decompor as forças e somar componentes — com isso, problemas assim viram rotina.

Resposta

F \approx 0{,}427\\ \mathrm{N}
\theta \approx 236{,}6^\circ

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