A partir da equação de energia dos níveis do modelo de Bohr \left(E_{n}\right) e da relação de Planck-Einstein para a emissão de fótons, deduza a equação teórica de Rydberg-Ritz para o inverso do comprimento de onda (1 / \lambda). Em seguida, determine o valor teórico da constante de \operatorname{Rydberg}\left(R_{H}\right) \mathrm{em} \mathrm{m}^{-1}.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações vou usar.
O enunciado pede duas coisas:
Deduzir a equação teórica de Rydberg–Ritz para o inverso do comprimento de onda \left(1/\lambda\right), ou seja, mostrar que\frac{1}{\lambda}=R_H\!\left(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right)e identificar a expressão de R_H.
Calcular o valor teórico da constante de Rydberg para o hidrogênio R_H em \mathrm{m}^{-1}.
Informações / relações que vou usar (já fornecidas ou padrão da teoria):
A relação de Planck–Einstein para fótons: energia do fóton \;E_{\text{fóton}}=h\nu=\dfrac{hc}{\lambda}.
A fórmula da energia dos níveis no modelo de Bohr (incluindo a correção por massa reduzida \mu):E_n = -\frac{\mu e^4}{8\varepsilon_0^{2}h^{2}}\cdot\frac{1}{n^{2}}.
Definição da massa reduzida \mu do elétron e do núcleo (próton) no átomo de hidrogênio:\mu=\frac{m_e m_p}{m_e+m_p}.
A constante de Rydberg para massa nuclear finita será expressa a partir da combinação das constantes fundamentas (ver os passos seguintes).
Passo 2
Explicando a fórmula de energia E_n e seus símbolos (mini-aula):
No modelo de Bohr, os níveis de energia do elétron ligado a um núcleo Coulombiano são quantizados e podem ser escritos comoE_n = -\frac{\mu e^4}{8\varepsilon_0^{2}h^{2}}\cdot\frac{1}{n^{2}}.
O que significa cada símbolo:
\mu é a massa reduzida do sistema elétron–próton, \mu=\dfrac{m_e m_p}{m_e+m_p}. Usamos \mu (e não m_e) porque o núcleo tem massa finita e ambos giram em torno do centro de massa.
e é a carga elementar (módulo).
\varepsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo.
h é a constante de Planck.
n é o número quântico principal (n=1,2,3,\dots).
Por que a fórmula tem essa forma (intuição): a energia total do elétron ligado é a soma da energia cinética e da potencial Coulombiano; a quantização da quantidade de movimento (Bohr: mvr=n\hbar) leva a níveis discretos com dependência 1/n^2. A presença de \mu corrige o fato de que o núcleo não é fixo.
Passo 3
Relacionando a transição entre dois níveis com o comprimento de onda emitido:
Se o elétron faz uma transição de um nível inicial n_i para um nível final n_f (com n_i>n_f para emissão), a energia do fóton emitido é a diferença de energias:\Delta E = E_{n_i}-E_{n_f}.
Pela relação de Planck–Einstein essa energia é também\Delta E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}.
Passo 4
Substituindo E_n na expressão de \Delta E e isolando 1/\lambda:
Escrevendo as energias com a fórmula de Bohr:\Delta E = -\frac{\mu e^4}{8\varepsilon_0^{2}h^{2}}\left(\frac{1}{n_i^{2}}-\frac{1}{n_f^{2}}\right).Note o sinal: E_n é negativo, então E_{n_i}-E_{n_f} = -\text{const}\left(\dfrac{1}{n_i^2}-\dfrac{1}{n_f^2}\right)=\text{const}\left(\dfrac{1}{n_f^2}-\dfrac{1}{n_i^2}\right).
Igualando a hc/\lambda e isolando 1/\lambda:\frac{hc}{\lambda}=\frac{\mu e^4}{8\varepsilon_0^{2}h^{2}}\left(\frac{1}{n_f^{2}}-\frac{1}{n_i^{2}}\right).Dividindo ambos os lados por hc dá\frac{1}{\lambda}=\underbrace{\frac{\mu e^4}{8\varepsilon_0^{2}h^{3}c}}_{R_H}\left(\frac{1}{n_f^{2}}-\frac{1}{n_i^{2}}\right).
Assim chegamos à forma padrão (fórmula de Rydberg–Ritz):\frac{1}{\lambda}=R_H\!\left(\frac{1}{n_f^{2}}-\frac{1}{n_i^{2}}\right),comR_H=\frac{\mu e^4}{8\varepsilon_0^{2}h^{3}c}.
Passo 5
Comentário sobre R_H e a constante de Rydberg para massa nuclear infinita R_\infty:
Se o núcleo fosse infinitamente pesado (m_p\to\infty), a massa reduzida \mu tende a m_e e obtemos a constante para massa infinitaR_\infty=\frac{m_e e^4}{8\varepsilon_0^{2}h^{3}c}.
Para o hidrogênio real, com próton de massa finita, usa-seR_H = R_\infty\cdot\frac{\mu}{m_e} = R_\infty\cdot\frac{m_p}{m_p+m_e}.Essa é uma forma prática para calcular R_H conhecendo R_\infty e as massas.
Passo 6
Cálculo numérico de R_H (valores usados e passos numéricos):
Vou usar o valor aceito de R_\infty (constante de Rydberg para massa infinita, CODATA) para evitar longas multiplicações intermediárias:R_\infty = 10973731{,}568160\\ \mathrm{m^{-1}}.
Calcular a razão m_e/m_p:\frac{m_e}{m_p}\approx 0{,}0005446170213063.
Calcular o fator de correção \dfrac{\mu}{m_e}=\dfrac{m_p}{m_p+m_e}=\dfrac{1}{1+m_e/m_p}. Numericamente:\frac{\mu}{m_e}=\frac{1}{1+0{,}0005446170213063}\approx 0{,}99945567962.