A partir da equação de energia dos níveis do modelo de Bohr \left(E_{n}\right) e da relação de Planck-Einstein para a emissão de fótons, deduza a equação teórica de Rydberg-Ritz para o inverso do comprimento de onda (1 / \lambda). Em seguida, determine o valor teórico da constante de \operatorname{Rydberg}\left(R_{H}\right) \mathrm{em} \mathrm{m}^{-1}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações vou usar.
  • O enunciado pede duas coisas:
    1. Deduzir a equação teórica de Rydberg–Ritz para o inverso do comprimento de onda \left(1/\lambda\right), ou seja, mostrar que \frac{1}{\lambda}=R_H\!\left(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right)e identificar a expressão de R_H.
    2. Calcular o valor teórico da constante de Rydberg para o hidrogênio R_H em \mathrm{m}^{-1}.
  • Informações / relações que vou usar (já fornecidas ou padrão da teoria):
    • A relação de Planck–Einstein para fótons: energia do fóton \;E_{\text{fóton}}=h\nu=\dfrac{hc}{\lambda}ó.
    • A fórmula da energia dos níveis no modelo de Bohr (incluindo a correção por massa reduzida \mu): E_n = -\frac{\mu e^4}{8\varepsilon_0^{2}h^{2}}\cdot\frac{1}{n^{2}}.
    • Definição da massa reduzida \mu do elétron e do núcleo (próton) no átomo de hidrogênio: \mu=\frac{m_e m_p}{m_e+m_p}.
    • A constante de Rydberg para massa nuclear finita será expressa a partir da combinação das constantes fundamentas (ver os passos seguintes).

Passo 2

Explicando a fórmula de energia E_n e seus símbolos (mini-aula):
  • No modelo de Bohr, os níveis de energia do elétron ligado a um núcleo Coulombiano são quantizados e podem ser escritos como E_n = -\frac{\mu e^4}{8\varepsilon_0^{2}h^{2}}\cdot\frac{1}{n^{2}}.
  • O que significa cada símbolo:
    • \mu é a massa reduzida do sistema elétron–próton, \mu=\dfrac{m_e m_p}{m_e+m_p}. Usamos \mu (e não m_e) porque o núcleo tem massa finita e ambos giram em torno do centro de massa.
    • e é a carga elementar (módulo).
    • \varepsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo.
    • h é a constante de Planck.
    • n é o número quântico principal ( n=1,2,3,\dots).
  • Por que a fórmula tem essa forma (intuição): a energia total do elétron ligado é a soma da energia cinética e da potencial Coulombiano; a quantização da quantidade de movimento (Bohr: mvr=n\hbar) leva a níveis discretos com dependência 1/n^2. A presença de \mu corrige o fato de que o núcleo não é fixo.

Passo 3

Relacionando a transição entre dois níveis com o comprimento de onda emitido:
  • Se o elétron faz uma transição de um nível inicial n_i para um nível final n_f (com n_i>n_f para emissão), a energia do fóton emitido é a diferença de energias: \Delta E = E_{n_i}-E_{n_f}.
  • Pela relação de Planck–Einstein essa energia é também \Delta E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}.

Passo 4

Substituindo E_n na expressão de \Delta E e isolando 1/\lambda:
  • Escrevendo as energias com a fórmula de Bohr: \Delta E = -\frac{\mu e^4}{8\varepsilon_0^{2}h^{2}}\left(\frac{1}{n_i^{2}}-\frac{1}{n_f^{2}}\right).Note o sinal: E_n é negativo, então E_{n_i}-E_{n_f} = -\text{const}\left(\dfrac{1}{n_i^2}-\dfrac{1}{n_f^2}\right)=\text{const}\left(\dfrac{1}{n_f^2}-\dfrac{1}{n_i^2}\right).
  • Igualando a hc/\lambda e isolando 1/\lambda: \frac{hc}{\lambda}=\frac{\mu e^4}{8\varepsilon_0^{2}h^{2}}\left(\frac{1}{n_f^{2}}-\frac{1}{n_i^{2}}\right).Dividindo ambos os lados por hc \frac{1}{\lambda}=\underbrace{\frac{\mu e^4}{8\varepsilon_0^{2}h^{3}c}}_{R_H}\left(\frac{1}{n_f^{2}}-\frac{1}{n_i^{2}}\right).
  • Assim chegamos à forma padrão (fórmula de Rydberg–Ritz): \frac{1}{\lambda}=R_H\!\left(\frac{1}{n_f^{2}}-\frac{1}{n_i^{2}}\right),com R_H=\frac{\mu e^4}{8\varepsilon_0^{2}h^{3}c}.

Passo 5

Comentário sobre R_H e a constante de Rydberg para massa nuclear infinita R_\infty:
  • Se o núcleo fosse infinitamente pesado ( m_p\to\infty), a massa reduzida \mu tende a m_e e obtemos a constante para massa infinita R_\infty=\frac{m_e e^4}{8\varepsilon_0^{2}h^{3}c}.
  • Para o hidrogênio real, com próton de massa finita, usa-se R_H = R_\infty\cdot\frac{\mu}{m_e} = R_\infty\cdot\frac{m_p}{m_p+m_e}.Essa é uma forma prática para calcular R_H conhecendo R_\infty e as massas.

Passo 6

Cálculo numérico de R_H (valores usados e passos numéricos):
  • Vou usar o valor aceito de R_\infty (constante de Rydberg para massa infinita, CODATA) para evitar longas multiplicações intermediárias: R_\infty = 10973731{,}568160\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • Valores das massas (CODATA): m_e = 9{,}1093837015\times 10^{-31}\\ \mathrm{kg}, \qquad m_p = 1{,}67262192369\times 10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
  • Calcular a razão m_e/m_p: \frac{m_e}{m_p}\approx 0{,}0005446170213063.
  • Calcular o fator de correção \dfrac{\mu}{m_e}=\dfrac{m_p}{m_p+m_e}=\dfrac{1}{1+m_e/m_p}. Numericamente: \frac{\mu}{m_e}=\frac{1}{1+0{,}0005446170213063}\approx 0{,}99945567962.
  • Então R_H = R_\infty\cdot\frac{\mu}{m_e} \approx 10973731{,}568160\times 0{,}99945567962.Fazendo a multiplicação chega-se a R_H \approx 10967758{,}34\\ \mathrm{m^{-1}}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\lambda}=R_H\!\left(\frac{1}{n_f^{2}}-\frac{1}{n_i^{2}}\right)
\displaystyle R_H\approx 1{,}096775834\times 10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}}

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